特征值与特征精英

特征值与特征精英

　　
　　过几天《线性代数》的课，该上到“特征值与特征向量”这一章的内容了。为了讲述这个内容，总是要讲一个引例。这个引例也有个名称，叫“兔子／狐狸”种群的生态模型。
　　
　　假如，在一个封闭的生态环境中，有两种动物就是兔子与狐狸。假设，在没有狐狸的状态下，兔子每年以10%速度增长；在没有兔子的情形下，狐狸每年将减少15%。以这个假设就可以建立两个变量的线性方程。设兔子数量为T，设狐狸数量为H，那么这两个方程为：T’＝ 1.1T - 0.15H 与 H’＝ 0.1T + 0.85H 。这里T’ H’是未来一年数量。自然用矩阵和向量表示更简单 X’＝ AX ，A 就是一个２×２的方阵，X 为兔子与狐狸的二维向量，X’为新一年的兔子与狐狸的二维向量。
　　
　　我们将会发现，有这样两个数，k=1 和 n=0.95，使得 kY ＝ AY 和 nZ ＝ AZ 成立，那么我们将 k=1 和 n=0.95，称为 A （即兔子／狐狸问题）的特征值，将向量 Y 称为对应特征值 k=1 时的特征向量，将向量 Z 称为对应特征值 n=0.95 时的特征向量。不难看出 Y ＝ AY 年复一年不再改变，我们将称为此时是个稳态的系统；也可以看到 0.95Z ＝ AZ 将随着时间延续而变为缓减的系统，最后导致灭绝。
　　
　　这个系统的稳态和缓减，是这个系统生来具有的，也就说是固有的。从数学的角度看，许多工程问题，通过数学描述使其成为一个代数问题，然而这个代数学问题隐含着某些特殊的参数，这些参数恰恰表述这个问题关键所在。比如结构力学中的固有频率、临界载荷等等。这是数学研究和学习中的意义所在。
　　
　　近年来，也传颂着“狼医生”的故事，意思有些相似。说有一个国家鹿太多了，把草原的草要吃光了，树叶也要啃光了，草原将荒废，树木将死绝，国王一筹莫展。一个生物学家给国王出了一个主意：请大批的狼来……于是，国王听从了生物学家的意见，买了很多狼，放进草原，狼吃掉了很多鹿，保住了草原、树木，其余的鹿，在群狼的追逐下，到处奔波，得到了锻炼，反而不容易生病了，变的更健康。
　　
　　现代精英对这个故事津津乐道，什么生物链啦，生态平衡啦……要点就是“请狼医生”！既然可以“请狼医生”，为何不能“请人医生”呢？让国王的子民们规划一下，让鹿造福于民众呢？什么鹿皮、鹿肉、鹿茸等，都可以为国民所用，该多好！等于是一个天然养鹿场呢！当然精英用意也很清楚的，不就是市场经济和资本经济？不赞成国家干预和规划。
　　
　　笔者不仅开《线性代数》的课，也开《最优化方法》的课。《最优化方法》要用到《线性代数》不少知识，人的一个目的就是认识自然和改造自然。改造自然与和谐社会自然对“请狼医生”的说法很不感冒，为何要倡导“弱肉强食”呢？在社会比较复杂状态下，以计划经济为主，以市场调节为辅，逐渐完善社会计划，难道这不是一个稳态的系统？《最优化方法》课设计各种规划和最优控制等，难道只对工程，不能对社会经济？怪哉！
　　
　　难道我们就看不到自由化与市场化带来更严重弊端？世界性的经济危机是怎样产生的？吴良精英的特征不在搞组合优化，也不在搞和谐社会，而是“请狼医生”来“弱肉强食”。屁股坐在狼这一边，才是问题的本质，狼狈为奸是古训，也是特征！