为什么数学史学家对祖冲之的密率特别感兴趣

中国古代数学家祖冲之在圆周率的计算中做出了享誉世界的贡献。一是算出3.141 592 6<π<3.141 592 7。一般认为，这是利用刘徽割圆术得到的。二是给出了π的两个近似分数——约率22/7和密率355/113。约率早已有之，阿基米德就曾得到过，但祖冲之的密率却特别令人吃惊和感兴趣。由于祖冲之的数学著作早已失传，人们无从知道他是如何得到他的密率的，数学史学家一直很关注这个问题，进行了种种猜测。著名数学家华罗庚认为祖冲之可能是通过连分数方法求得其密率的。

祖冲之

祖冲之已经知道3.141 592 6<π<3.141 592 7，用3.141 592 6和3.141 592 7的平均值3.141 592 65作为π的近似值，其连分数展开为 $$3.141 592 6=3_+\frac{1}{7}_+\frac{1}{15}_+\frac{1}{1}_+\frac{1}{288}_+\frac{1}{1}_+\frac{1}{2}_+\frac{1}{1}_+\frac{1}{3}_+\frac{1}{1}_+\frac{1}{7}_+\frac{1}{4}.$$ 取这个连分数的第一项得到第一个渐近分数π≈3。取前两项得到第二个渐近分数$\pi\thickapprox3-\frac{1}{7}=\frac{22}{7}$，这就是约率。第三个渐近分数为 $$\pi\thickapprox3+\frac{1}{7}_+\frac{1}{15}=3+\frac{1}{7+\frac{1}{15}}=\frac{333}{106}.$$ 第四个渐近分数为 $$\pi\thickapprox3+\frac{1}{7}_+\frac{1}{15}_+\frac{1}{1}=3+\frac{1}{7+\frac{1}{15+\frac{1}{1}}}=\frac{355}{113},$$ 这就是祖冲之的密率。而第五个渐近分数则是 $$\pi\thickapprox3\frac{102 573}{32 650}.$$ 显然，既简单又精确首推密率。连分数展开得到的渐近分数是用分数快速逼近小数的很先进的方法，是最佳逼近。如果能够肯定上述推断，就说明祖冲之在他那个时代已经掌握了连分数，这是十分了不起的。英国学者李约瑟在他的《中国科学技术史》中论述祖冲之的密率时说：“密率是一个连分数渐近分数，因此是一个非凡的成就。”