为什么有时各个部分均占优而整体不占优

有时候，统计数据会出现一些极其反常的现象。让我们来看一看下面这个有趣的例子。假设科学家们研发出了一种治疗某种疾病的新药。不过，实验结果表明，这种新药的效果并不比原来的药更好，如表所示：

简单计算就能看出，新药只对40%的人有效，而原药则对50%的人有效。问题出在哪里呢？是否因为这种新药对某一类人有副作用？还是存在其他原因？于是研究人员把性别因素考虑进来，将男女分开来统计，如表所示：

我们不妨实际计算一下：对于男性来说，新药对高达70%的人有效，而原药则只对60%的人有效；但对于女性来说，新药对30%的人有效，而原药则只对20%的人有效。矛盾的结果出现了：新药不但对男性更加有效，对女性也更加有效，但对整体人群则无效！1951年，英国统计学家辛普森首次发现了这种怪异的现象，因此这种现象就叫作“辛普森悖论”。

辛普森悖论也叫辛普森效应，它其实不是一个悖论。其数学原理是：当$\frac{a}{b}<\frac{c}{d}，\frac{a'}{b'}<\frac{c'}{d'}$时，并不一定总是$\frac{a+a'}{b+b'}<\frac{c+c'}{d+d'}$。如果$\frac{a+a'}{b+b'}>\frac{c+c'}{d+d'}$，就会产生辛普森效应。它在分组样本数据大小差异较大、发生频率差异较大时容易出现这种现象。比如，在上面的例子中，参与新药试验的女性人数远大于男性人数，原药则相反，而且，药品对男性的有效率远大于对女性的有效率。

饼图是展示统计结果的常用方式

在医药卫生领域的统计数据中，这样的现象时常会发生，如流行病学中的“混杂效应”实际上就是辛普森效应。类似的事情在人类社会其他领域中也有发生。美国劳工部曾发表过一份报告显示，于2009年爆发并影响之后多年的全球金融危机期间，美国总体失业率要低于20世纪80年代经济衰退期间的总体失业率。然而，分别统计大学毕业生、高中毕业生以及高中辍学生等各个群体的失业率数据后，会发现这些群体在全球金融危机期间的失业率，均高于20世纪80年代经济衰退期间。究其原因，是由于2009年以后美国每年大学毕业生人数占总人口的比例远高于20世纪80年代，而大学毕业生的失业率则远低于高中生或高中辍学生。

1973年，美国加利福尼亚大学伯克利分校曾因性别歧视被起诉，因为有统计数据显示，当年男性学生的录取率远远高于女性学生。然而，校方仔细检查了学校每个院系里的男女学生录取率，发现情况并不是那么回事。事实上，几乎所有院系的女性学生录取率都更高一些。最终，伯克利分校在这次诉讼中获胜。