循环小数是否可以直接相加

在小学里，我们学习过循环小数，以及分数怎样化为循环小数，循环小数怎样化为分数。如果遇到一道两个循环小数相加的题目，只能将这两个循环小数都化为分数，然后将这两个分数相加。那么，两个循环小数是不是可以直接相加呢？我们说是可以的。

例如，求$0.\dot 14285\dot 7 + 0.\dot 28571\dot 4$，我们可以如下那样排出竖式：

求得和为$0.\dot 42857\dot 1$。

这个结果对不对呢？对。$0.\dot 14285\dot 7$，$0.\dot 28571\dot 4$分别可化为$\frac{1}{7}$和$\frac{2}{7}$，它们的和应是$\frac{3}{7}$，而我们求得的和$0.\dot 42857\dot 1$正巧等于$\frac{3}{7}$。可见这样直接将循环小数相加是可以的（在本文中我们都略去严格的证明）。

这是两个纯循环小数相加，而且是循环节位数相同的情形。一般地，对于这样的两个循环小数相加，我们都可以将小数点位置对齐后，模仿有限小数竖式加法进行。

那么，如果循环节位数不一致，比如$0.\dot 4\dot 3 + 0.\dot 12\dot 3$，又该怎么办呢？

其实，我们可以把$0.\dot 4\dot 3$看作$0.\dot 43434\dot 3$，把$0.\dot 12\dot 3$看作$0.\dot 12312\dot 3$。这样一来，两个循环小数的循环节位数就相同了，也就可以直接相加了。

$\eqalign{ & 0.\dot 4\dot 3 + 0.\dot 12\dot 3 \cr & {\text{ = }}0.\dot 43434\dot 3 + 0.\dot 12312\dot 3 \cr & {\text{ = }}0.\dot 55746\dot 6 \cr} $

把$0.\dot 4\dot 3$化为$0.\dot 43434\dot 3$，叫做“循环节的扩充”。我们看到，通过循环节的扩充，可以使原来循环节位数不相同的两个循环小数化为循环节位数相同的两个循环小数，从而使它们可以直接相加。

混循环小数可不可以直接相加呢？例如，$0.3\dot 4\dot 5 + 0.1\dot 2\dot 3$。其实，对于这两个加数来说，把小数点对齐后，不循环部分和循环节自动也对齐了，于是，模仿有限小数的竖式加法就可以直接相加：

但是，小数点对齐后，不循环部分及循环节没有对齐的话，该怎么办呢？例如，$0.3\dot 4\dot 5 + 0.\dot 1\dot 3$该怎么计算呢？

其实，$0.\dot 1\dot 3$可以看作$0.1\dot 3\dot 1$。这样一来，就可以用竖式作加法了：

把$0.\dot 1\dot 3$看成$0.1\dot 3\dot 1$，叫做“循环节的重整”。通过重整，可以解决混循环小数直接相加的问题。

有时，我们既要使用重整，又要使用扩充，才能达到直接相加的目的。例如：

$\eqalign{ & 0.3\dot 5\dot 4 + 0.41\dot 2\dot 8\dot 3 \cr & {\text{ = }}0.35\dot 4\dot 5 + 0.41\dot 2\dot 8\dot 3 \cr & {\text{ = }}0.35\dot 45454\dot 5 + 0.41\dot 28328\dot 3 \cr & {\text{ = }}0.76\dot 73782\dot 8 \cr} $

说到这里，有的读者可能还会想到，做加法时，循环节的首位相加需要进位怎么办？例如，$0.\dot 7\dot 2 + 0.\dot 4\dot 3$，这时，我们不能简单从事。像下面那样的做法就是错的：

事实上，

$\eqalign{ & 0.\dot 7\dot 2 + 0.\dot 4\dot 3{\text{ = }}\frac{{72}}{{99}} + \frac{{43}}{{99}} \cr & {\text{ = }}\frac{{115}}{{99}}{\text{ = }}1\frac{{16}}{{99}} \cr & {\text{ = }}1.\dot 1\dot 6 \cr} $

看来，遇到循环节首位相加需要进位时，循环节的末位也要进位。这个进位数可以看作后一个循环节向前一个循环节进位得到的。因此，直接相加时，要如下面的方法演算：

循环小数也可以直接相减，读者可以从减法是加法的逆运算，以及上面指出的各种情况，自己加以探讨。