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数环是一种特殊的数集，由数组成的环，是环的最基本的例子和模型.设P是复数集的非空子集，如果P中任意两个数的和、差、积仍属于P，则称P是一个数环。如全体整数的集合Z，全体有理数的集合Q，全体实数的集合R和全体复数的集合C，分别称为整数环Z、有理数环Q、实数环R和复数环C；对数的加法、乘法均构成环；偶数集是数环，称为偶数环；还有各种代数整数环等，只有数“零”作成的数集{0}也是数环。

基本介绍

中文名：数环外文名：number ring属性：是环的最基本的例子和模型所属学科：数学举例：整数环Z、有理数环Q等 基本概念,数环举例,性质,典型例题分析,环,关于数域,

基本概念

数环是数集的一种代数结构，至少含一个数的数集S，若对加法、减法、乘法封闭，即对S中的任意二数a、b，a+b、a-b、a·b都在S中，则称S构成数环。图1如果一个数集中的任意两个数，经过某种运算所得的结果仍是这个数集中的数，那么就说这个数集关于这种运算封闭。 这样，数环就是 关于加法、减法、乘法运算封闭的非空数集。代数学中环的概念正是数环概念的推广和一般化。

数环举例

只由一个数0组成的集合，即{0}，也是数环，因为0+0=0，0-0=0，0×0=0，这个数环叫做零环，它是最小的数环，即其它所有的数环都包含它。 若数环S含非零数a，则S必含无穷多个数。 全体整数集Z是一个数环，因为整数的和、差、积还数，这个数环叫 整数环。 自然数集不是一个数环，因为自然数的差不一定是自然数。 对某个整数n，n的所有整数倍的集合构成数环，特别，n=2，全体偶数集构成数环，称为 偶数环，记做2Z。 全体 有理数集Q、全体实数集R、全体复数集C都构成数环，分别称为整数环Z、有理数环Q、实数环R和复数环C。整数环Z中带余除法定理成立，整数论正是研究整数环性质的有关理论。 全体奇数集不能构成数环，因为，两个奇数的和不再是奇数。 全体形如3n+2的整数集也不构成数环。 全体形如 (m、n为整数)的数集构成数环。

性质

性质1 任何数环都包含数零（即零环是最小的数环）。 性质2 设 S是一个数环，若 a∈ S，则 na∈ S( n∈ Z)。 性质3 若 M、 N都是数环，则 M∩ N也是数环。

典型例题分析

例1自然数全体对数的四则运算是否形成环或域?解：自然数全体对数的加法、乘法不形成环，也不形成域。 因为两个自然数相减不一定还是自然数，所以自然数关于数的加、减、乘不形成环，也不形成域。 例2证明，如果一个数环S≠{o)，那么S含有无限多个数。证明：设 ，由数环的性质，则 ，从而 均属于S，且当 时， ，从而得证S含有无限多个数。 例3证明，两个数环的交还是一个数环；两个数环的并是不是数环?证明：(i)设 是两个数环， ，于是 且 ，从而 ，且 ，因此 ，故 是数环。 (ii)两个数环的并不一定是数环，例如， ，显然 ，则 ，但 ，故 不是数环。

环

环是近世代数学中一个重要概念。对一个集规定两种代数运算(通常分别称为加法和乘法)，使加法满足结合律及交换律，乘法满足结合律，乘法对于加法满足分配律；这集中还有零元素，就是与集中的任何元素相加结果仍等于该元素的一种元素，井且每个元素都有负元素，任何元素与其负元素相加等于零元素：这种集称为“环”。如果环的乘法满足交换律，称为“交换环”。以数为元素的环称为“数环”；例如，整数的全体构成一个数环。

关于数域

定义设F是一个数环，如果 (i)F含有一个不等于零的数； (ii)如果 ，且 ，则 ． 那么就称F是一个数域。 数域的一个基本结论任何数域都包含有理数域Q。