两异面直线夹角范围 给定两异面直线(x-5)/2=(y-1)/1=(z-1)/0与(x-1)/1=(y-2)/0=(z-2)/1,试求它们的公垂线方程？

给定两异面直线(x-5)/2=(y-1)/1=(z-1)/0与(x-1)/1=(y-2)/0=(z-2)/1,试求它们的公垂线方程？  

给定两异面直线(x-5)/2=(y-1)/1=(z-1)/0与(x-1)/1=(y-2)/0=(z-2)/1,试求它们的公垂线方程？

(x-5)/2=(y-1)/1=(z-2)/0其实相当于(x-5)/2=(y-1)/1
(x-1)/1=(y-2)/0=(z-2)/1其实相当于(x-1)/1=(z-2)/1
先各自求它们的垂直平面
因为要求的是平面,所以可以只看斜率,第一条直线的斜率是1/2,所以与它垂直的斜率是-2
（t*t'=-1）,由此可知,第二条直线的斜率是-1.
得出第一条直线的垂直平面应满足的条件是y/x=-2,第二条直线的垂直平面应满足的条件是z/x=-1.
设直线的方程式为ax+by+cz=n（其中,n为常数）.
令a=1,则
由x+by+cz=n,y/x=-2,z/x=-1
解得x+1/2y+z=m（其中,m为常数）.
即所求公垂线是2x+y+2z=p（其中,p为常数）.

求异面直线x/1=y/2=z/3与x-1=y+1=z-2的公垂线方程

直线 L1：x/1=y/2=z/3，L2：x-1=y+1=z-2 的方向向量分别是 v1=（1，2，3），v2=（1，1，1），
因此公垂线 L 的方向向量是 v=v1×v2=（-1，2，-1），
在直线 L1 上有点 P（0，0，0），
由于 v1×V=（-8，-2，4），
所以，过直线 L1 、公垂线 L 的平面方程为 -8x-2y+4z=0 ，即 4x+y-2z=0 。
同理，由于 v2×V=（-3，0，3），且 L 上有点 Q（1，-1，2），
所以，过直线 L2、公垂线 L 的平面方程为 -3(x-1)+3(z-2)=0 ，化简得 x-z+1=0 ，
联立 4x+y-2z=0 和 x-z+1=0 ，解得公垂线上一点坐标（0，2，1），
因此，公垂线的方程为 x/(-1)=(y-2)/2=(z-1)/(-1) ，
化简得 x=(y-2)/(-2)=z-1 。

l1:x-3/2=y/1=z-1/0,l2:x 1/1=y-2/0=z/1求公垂线方程

l1:(x-3)/2=y/1=(z-1)/0,l2:(x +1)/1=(y-2)/0=z/1,
它们的方向向量分别是a=(2,1,0),b=(1,0,1),
c=a×b=
i j k
2 1 0
1 0 1
=(1,-2,-1),为公垂线的方向向量，
过l1的动点M(3+2t,t,1),以c为方向向量的直线x-3-2t=(y-t)/(-2)=(z-1)/(-1)与l2相交，
把z=x+1,y=2代入上式，得x-3-2t=(2-t)/(-2)=-x,
解得t=-1/3,3+2t=7/3,
∴所求直线方程是x-7/3=(y+1/3)/(-2)=(z-1)/(-1).

求两条平衡直线（x-1）/2=(y-2)/-1=(z+3)/3与（x+2）/4=（y-1）/-2=（z-2）/6的平面方程？

这样的题有多种方法可以计算，你没有限定方法，别人就只好自由发挥了！
假定用【三点式方程】求吧：
给出的方程已经有两个不同的点了 （1 ，2 ，-3） 和 （-2 ，1 ，2）
在所给的两条直线中任意再找一点，如l1上的 （5 ，0 ，3）【这个点有无数种取法】
则平面方程 |x-1 y-2 z+3 | |x-1 y-2 z+3 |
-2-5 1-0 2-3 =0 => -7 1 -1 =0
5-1 0-2 3+3 4 -2 6
=> 6(x-1)-4(y-2)+14(z+3)-4(z+3)+42(y-2)-2(x-1)=0
=> 4(x-1)+38(y-2)+10(z+3)=0
=> 4x+38y+10z-50=0
=> 2x+19y+5z-25=0

求曲面z=x^2/2+y^2垂直于直线l:(x-1)/2=(y-1)/2=(z-1)/1的切平面方程

解：∵αz/αx=x，αz/αy=2y
∴曲面z=x²/2+y²在任意点(x,y,z)处切平面的法向量是(x,2y,-1)
∵此切平面垂直于直线l，且直线l的方向向量是(2,2,1)
∴向量(x,2y,-1)与向量(2,2,1)对应成比例，即取x=-2，y=-1
把x=-2，y=-1代入z=x²/2+y²，得z=3
故 所求切平面方程是2(x+2)+2(y+1)+(z-3)=0，即2x+2y+z+3=0。

求过直线 L1:(x-1)/1=(y-2)/0=(z-3)/-1 且平行于直线L2 :(x+2)/2=(y-1)/1=z/1 的平面方程

L1的方向向量为n1=(1,0,-1)
L2的方向向量为n2=(2,1,1)
那么设平面的法向量为n=(a,b,c)
那么n*n1=0 a-c=0
n*n2=0 2a+b+c=0
所以c=a b=-3a
不妨设n=(1,-3,1)
又平面过L1，L1过(1,2,3)，所以平面过(1,2,3)
所以平面方程式1*(x-1)+2*(y-2)+3*(z-3)=0
x+2y+3z=14

一直线在平面x+2y=0上，且和两直线x/1=y/4=(z-1)/-1及(x-4)/2=(y-1)/0=(x-2)-1都相交，求该直线方程。

联立 x+2y = 0 与 x/1 = y/4 = (z-1) / (-1) 得交点 A（0，0，1），
联立 x+2y = 0 与 (x-4)/2 = (y-1)/0 = (z-2)/(-1) 得 B（-2，1，5），
由两点式得直线方程为 x / (-2) = y / 1 = (z-1) / 4 。

求通过直线x/2=y/-1=(z-1)/2且平行与直线（x-1）/0=y/1=z/-1的平面方程

设平面方程为：ax+by+cz+d=0
则平面法向量为(a,b,c)
因为平面过x/2=y/-1=(z-1)/2
因此，
平面过点(0,0,1)且法向量与向量(2,-1,2)垂直
又因为平面平行于(x-1)/0=y/1=z/-1
因此，
法向量与向量(0,1,-1)垂直
综合上述，得到方程组：
c+d=0
2a-b+2c=0
b-c=0
解得：
a=-c/2
b=c
c=c≠0
d=-c
因此，平面方程为：-cx/2+cy+cz-c=0
化简：-x+2y+2z-2=0
有不懂欢迎追问

过点（4。0。-1）作直线，使它与给定的两直线(X-1)/2=(Y+3)/4=(Z-5)/3和X/5=(Y-2)/-1=(Z+1)/2相交

提示：分三步：
1）求过点A(4，0，-1)与直线l1:(X-1)/2=(Y+3)/4=(Z-5)/3的平面M的方程，
2）求平面M与直线l2:X/5=(Y-2)/-1=(Z+1)/2的交点B的坐标。
3）求直线AB的方程，为所求。
具体计算留给您练习，可以吗？

大学高数题：设直线L1：x+2/1=y-3/-1=z+1/1 , L2:x+4/2=y/1=z-4/3,试求L1，L2的公垂线方程。

先求公垂线的方向向量s，s垂直与L1、L2的方向向量s1,s2，也就是作s,s1,s2的混合积。
再求由L1,s所决定的平面π1，具体做法是，求出π1的法向量n1，就是作n1，s1,s的混合积，然后由平面的点法式方程（过点（-2，3，-1））。同理，求出π2
所求公垂线方程由π1和π2决定