常系数非齐次线性微分方程 设非齐次线性方程组x1+2x2+3x3+4x4=5,x1+x2+x3+x4=1,求方程组的通解,求其汇出组基础解系

设非齐次线性方程组x1+2x2+3x3+4x4=5,x1+x2+x3+x4=1,求方程组的通解,求其汇出组基础解系  

设非齐次线性方程组x1+2x2+3x3+4x4=5,x1+x2+x3+x4=1,求方程组的通解,求其汇出组基础解系

增广矩阵 （A，b）=
[1 2 3 4 5]
[1 1 1 1 1]
行初等变换为
[1 1 1 1 1]
[0 1 2 3 4]
方程组同解变形为
x1+x2=1-x3-x4
x2=4-2x3-3x4
取 x3=x4=0, 得特解 (-3, 4, 0, 0)^T,
汇出组即对应的齐次方程是
x1+x2=-x3-x4
x2=-2x3-3x4
取 x3=1，x4=0, 得基础解系 (1, -2, 1, 0)^T,
取 x3=0，x4=1, 得基础解系 (2, -3, 0, 1)^T,
原方程组的通解是
x=(-3, 4, 0, 0)^T+k(1, -2, 1, 0)^T+c(2, -3, 0, 1)^T.
其中 k，c 为任意常数。

求非齐次线性方程组的基础解系及其通解 X1+X2+X3+X4=2 X1+2X2+2X3+X4=4 2X1+X2+X3+4X4=β

写出增广矩阵为
1 1 1 1 2
1 2 2 1 4
2 1 1 4 β 第2行减去第1行，第3行减去第1行×2
～
1 1 1 1 2
0 1 1 0 2
0 -1 -1 2 β-4 第1行减去第2行，第3行加上第2行
～
1 0 0 1 0
0 1 1 0 2
0 0 0 2 β-2 第3行除以2，第1行减去第3行
～
1 0 0 0 1-β/2
0 1 1 0 2
0 0 0 1 β/2 -1
所以得到通解为c*(0,1,-1,0)^T +(1-β/2,2,0,β/2-1)^T，C为常数

求解非齐次线性方程组的通解 X1+X2-2*X4=-6 4*X1-X2-X3-X4=1 3X1-X2-X3=3

解: 增广矩阵(A,b) =
1 1 0 -2 -6
4 -1 -1 -1 1
3 -1 -1 0 3
r2-r1-r3, r3-3r1
1 1 0 -2 -6
0 -1 0 1 4
0 -4 -1 6 21
r1+r2,r3-4r2,r2*(-1)
1 0 0 -1 -2
0 1 0 -1 -4
0 0 -1 2 5
r3*(-1)
1 0 0 -1 -2
0 1 0 -1 -4
0 0 1 -2 -5
所以方程组的通解为: (-2,-4,-5,0)'+c(1,1,2,1)'
其中c为任意常数.

求解齐次线性方程组5x1-7x2+x4=0 2x1+x2-3x3+5x4=0的通解 急

解: 系数矩阵 =
5 -7 0 1
2 1 -3 5
r2-5r1
5 -7 0 1
-23 36 -3 0
r2*(-1/3)
5 -7 0 1
23/3 -13 1 0
方程组的通解为: c1(-3,0,23,15)'+c2(0,1,13,7)'

求齐次线性方程组2x1+x2+x4=0,x1-x3+x4=0的一个基础解系和通解.

系数矩阵为，
[2, 1, 0, 1]
[1, 0, -1, 1]

第2行同乘（-1），有
[2, 1, 0, 1]
[-1, 0,1, -1].

等价方程组为，
2x(1) + x(2) + x(4) = 0,
-x(1) + x(3) - x(4) = 0,

进一步，
x(2) = -2x(1) - x(4)
x(3) = x(1) + x(4),

通解为，
x(1) = a,
x(2) = -2a - b,
x(3) = a + b,
x(4) = b.
其中，a,b为任意常数。。

[x(1)] = a[1] + b[0]
[x(2)] = a[-2] + b[-1]
[x(3)] = a[1] + b[1]
[x(4)] = a[0] + b[1],

基础解系为，
由向量【1，-2，1，0】和【0，-1，1，1】张成的2维向量空间。

求下列齐次线性方程组的一个基础解系和通解x1+x2-3x4=0，x1-x2-2x3-x4=0,4x1-2x2+6x3+3x4=0

化简到最后阶梯形，第一行是1 1 0 -3 第二行是0 1 1 -1第三行0 0 4 3 令x4等于1为自由未知数，其他解出来是分数，同时乘4再配个系数就得到答案

求齐次线性方程组X1+X2+2X2-X4=0,-X1-3X3+2X4=0,2X1+X2+5X3-3X4=0的一般解。

X1+X2+2X2-X4=0打错，应该是X1+X2+2X3-X4=0
┏1 1 2 -1┓
┃-1 0 -3 2┃
┗2 1 5 -3┛→﹙行初等变换﹚→
┏1 0 3 -2┓
┃0 1 -1 1┃
┗0 0 0 0┛
通解﹛x1,x2,x3,x4﹜＝a﹛-3,1,1,0﹜+b﹛2,-1,0,1﹜ [a.b是任意数]

求齐次线性方程组x1+x2+x5=0,x1+x2+x3=0,x3+x4+x5=0的通解

m,n为任意
x1 = m
x2 = -n-m
x3 = n
x4 = -2n
x5 = n

求齐次线性方程组x1-x2+2x3+x4=0。 2x1+x2-x3-x4=0。 x1+x2+3x4=0。 x2+x3+7x4=0。的基础解系及其结构解

解: 系数矩阵 =
1 -1 2 1
2 1 -1 -1
1 1 0 3
0 1 1 7
用初等行变换化为行简化梯矩阵
1 0 0 -1
0 1 0 4
0 0 1 3
0 0 0 0
方程组的基础解系为: (1,-4,-3,1)^T
结构解为: c(1,-4,-3,1)^T, c为任意常数.

设齐次线性方程组:x1+x2+x3+x4=0,x2-x3+2x4=0,2x1+3x2+(a+2)x3+4x4=0,3x1+5x2+x3+(a+8)x4=0.

齐次线性方程组有非零解，则必有系数矩阵的行列式为0.（反之，若系数矩阵的行列式不为0，则它只有零解）
|1 1 1 1|
|0 1 -1 2|=0
|2 3 a+2 4|
|3 5 1 a+8|
化简，得：
|1 1 1 1|
|0 1 -1 2|
|0 1 a 2|
|0 2 -2 a+5|
=
|1 -1 2|
|0 a+1 0|
|0 0 a+1|
=(a+1)^2=0
即：a=-1.
仅当a=-1时,该方程组有非零解。