若ex是fx的一个原函数 已知函数f(x)=(e∧x)/|x|，关于x的方程f²(x)-2af(x)+a=1(a∈R)有四个

已知函数f(x)=(e∧x)/|x|，关于x的方程f²(x)-2af(x)+a=1(a∈R)有四个  

已知函数f(x)=(e∧x)/|x|，关于x的方程f²(x)-2af(x)+a=1(a∈R)有四个

选 D
1)x∈(-∞,0)时,f(x)=-e^x/x
f'(x)=(1-x)(e^x/x²)>0
f(x)在其上单增,值域是(0,+∞)
2)x∈(0,+∞)时,f(x)=e^x/x
f'(x)=(x-1)(e^x/x²)
x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)在其上单减,值域是(e,+∞)
x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在其上单增,值域是(e,+∞)
f'(1)=0,f(x)在x=1处取极小值f(1)=e
设g(t)=t²-2at+a-1
根据f(x)的图象(可先作出大致图象)得:
f²(x)-2af(x)+a-1=0有4个相异实根的充要条件是:
方程g(t)=0在(0,e)和(e,+∞)上各有一实根。
得a可取的充要条件是:
g(e)=e²-2ae+a-1=-(2e-1)+(e²-1)<0
且g(0)=a-1>0
即 a>(e²-1)/(2e-1) 且a>1
又(e²-1)/(2e-1)-1=e(e-2)/(2e-1)>0
即(e²-1)/(2e-1)>1
所以 a的取值范围是 ((e²-1)/(2e-1),+∞)
希望能帮到你！

已知函数f（x）=cosx，证明1/2[f²(π/4)+f²(π+x)]≥√f²(π/4)+f²(π+x)

1、1/2[f²（π/4－x)＋f²(π/4＋x)]
=[cos²(π/4－x)＋cos²(π/4＋x)]/2
=[((cos(π/2-2x) 1)/2 ((cos(π/2 2x) 1)/2]/2
=[sin2x 1 (-sin2x 1)]/4
=2/4=1/2
f²（π/4－x）*f²（π/4＋x）=cos²(π/4－x)*cos²(π/4＋x)
=((cos(π/2-2x) 1)/2*((cos(π/2 2x) 1)/2=(1 sin2x)(1-sin2x)/4
=(1-sin²2x)/4=cos²2x/4<=1/4
所以 1/2[f²（π/4－x)＋f²(π/4＋x)]≥√f²（π/4－x）*f²（π/4＋x）
2、4f（π/3－x）*f（x）*f（π/3 x）
=4cos(π/3-x)cosxcos(π/3 x)
=4cosx(cos2x cos2π/3)/2
=2cosxcos2x 2cos2π/3cosx
=(cos3x cosx) 2*(-1/2)cosx
=cos3x
=f(3x)
证毕

已知函数f（x）=│lg│x││x≠0，a x=0，方程f²（x）-f（x）=0有7个实数根

由数形结合容易知：a=0肯定可以
出题人可能没考虑到这点，或者题目还有其他限制，注意甄别
不要迷信答案，相信自己

已知函数 f(x)= a |x| + 2 a x （a＞0，a≠1），（1）若a＞1，且关于x的方程f（x）=m

（1）令a x =t，x＞0，
∵a＞1，所以t＞1，
∴关于x的方程f（x）=m有两个不同的正数解
转化为：方程 t+

2 t =m 有相异的且均大于1的两根，
∴

△= m 2 -8＞0 m 2

＞1

1 2 -m+2＞0

解得 2

2

＜m＜3 ，
故实数m的取值范围是 (2

2

，3) ．
（2）g（x）=a |x| +2a x ，x∈[-2，+∞）
①当a＞1时，
x≥0时，a x ≥1，g（x）=3a x ，所以g（x）∈[3，+∞），
-2≤x＜0时，

1 a 2

≤ a x ＜1 ，g（x）=a -x +2a x ，所以 g′(x)=- a -x lna+2 a x lna=

2 ( a x ) 2 -1 a x

lna
ⅰ当

1 a 2

＞

1 2

即 1＜a＜

4 2

时，对?x∈（-2，0），g′（x）＞0，所以g（x）在[-2，0）上递增，
所以 g(x)∈[ a 2 +

2 a 2

，3) ，
综上：g（x）有最小值为 a 2 +

2 a 2

与a有关，不符合（10分）
ⅱ当

1 a 2

≤

1 2

即 a≥

4 2

时，由g′（x）=0得 x=-

1 2

lo g a 2 ，
且当 -2＜x＜-

1 2

lo g a 2 时，g′（x）＜0，
当 -

1 2

lo g a 2＜x＜0 时，g′（x）＞0，
所以g（x）在 [-2，-

1 2

lo g a 2] 上递减，在 [-

1 2

lo g a 2，0] 上递增，
所以 g(x ) min =g(-

1 2

log a 2) = 2

2

，
综上：g（x）有最小值为 2

2

与a无关，符合要求．
②当0＜a＜1时，
a）x≥0时，0＜a x ≤1，g（x）=3a x ，所以g（x）∈（0，3]
b）-2≤x＜0时， 1＜ a x ≤

1 a 2

，g（x）=a -x +2a x ，
所以 g′(x)=- a -x lna+2 a x lna=

2 ( a x ) 2 -1 a x

lna ＜0，g（x）在[-2，0）上递减，
所以 g(x)∈(3， a 2 +

2 a 2

] ，
综上：a）b）g（x）有最大值为 a 2 +

2 a 2

与a有关，不符合
综上所述，实数a的取值范围是 a≥

4 2

．

已知函数f（x）＝x平方+2ax+1（a∈R）,f'（x）是f（x）的导函数解关于x的方程f（x）＝|f'（x）|

f(x) =x^2+2ax+1
f'(x) = 2x+2a
f(x) = |f'(x)|
x^2+2ax+1 = 2x+2a or x^2+2ax+1 = -2x-2a
x^2+2(a-1)x+(1-2a)=0 or x^2+2(a+1)x+(1+2a)=0
[x+(2a-1)](x-1) =0 or (x+2a+1)(x+1)=0
x=-(2a-1) or 1 or x=-(2a+1) or -1
ie
x= -1 or 1 or -(2a-1) or -(2a+1)

已知函数f(x)＝a|x|+2ax，(a＞0，a≠1)（1）a＞1，解关于x的方程f（x）=3．（2）记函数g（x）=f（-x），x

（1）令f(x)＝a|x|+

2 ax

=3
当x≥0时，方程变为a2x-3ax+2=0，解得ax=1或ax=2，可得=0或loga2
 当x＜0时，方程变为1+2=3ax，解得x=0故此类下无解．
  综上 x=0或loga2（4分）；
（2）由题设，g（x）=a|x|+2ax，x∈[-2，+∞），下分类讨论：
①若a＞1，则
（ⅰ）当x≥0时，ax≥1，g（x）=3ax，∴g（x）∈[3，+∞）
（ⅱ）-2≤x＜0时，

1 a2

≤ax＜1，g（x）=a-x+2ax
∴g'（x）=-a-xlna+2axlna=

2(ax)2?1 ax

lna
从而当

1 a2

＞

1 2

即1＜a＜

4 2

时，对?x∈（-2，0），g'（x）＞0，
∴g（x）在[-2，0）上递增
∴g（x）∈[a2+

2 a2

，3)，由此g（x）有最小值a2+

2 a2

与a有关，不符合．
当

1 a2

≤

1 2

即a≥

4 2

时，由g'（x）=0得x＝?

1 2

loga2
则?2＜x＜?

1 2

loga2时，g'（x）＜0；?

已知函数f(x)=(1/3)^x,x∈[-1，1]；函数g(x)=f^2(x)-2af(x)+3的最小值为h(a).

解：
(1)
f(x)＝(1/3)^x，x∈[－1，1]
知f(x)∈[1/3，3]
令f(x)∈[1/3，3]
记g(x)＝y＝t²－2at＋3，则g(x)的对称轴为t＝a，故有：
①当a ≤ 1/3时，g(x)的最小值h(a)＝(28/9)－(2a/3)
②当a ≥ 3时，g(x)的最小值h(a)＝12－6a
③当1/3＜a＜3时，g(x)的最小值h(a)＝3－a²
综上所述：
h(a)＝
{(28/9)－(2a/3)，a ≤ 1/3
{3－a²，1/3＜a＜3
{12－6a，a ≥ 3
(2)
当a ≥ 3时，h(a)＝－6a＋12
故m＞n＞3时，h(a)在[n，m]上为减函数
∴h(a)在[n，m]上的值域为[h(m)，h(n)]
由题意，则
{h(m)＝n²
{h(n)＝m²
{－6m＋12＝n²
{－6n＋12＝m²
两式相减得：
6n－6m＝n²－m²
又m≠n，
∴m＋n＝6
这与m＞n＞3矛盾
∴不存在满足题中条件的m，n的值

已知函数f(x)=x²/1+x²,x∈R，求f(x)+f(1/x)=?

是f(x)=x²/（1+x²）吧？
f(1/x)=(1/x)²/[1+(1/x)²]=1/(1+x²)
所以所求式=x²/（1+x²）+1/(1+x²)=1