第一类曲面积分公式 计算曲面积分∫∫x2y2zdxdy,其中∑是球面x2+y2+z2=1的上半平面的上侧.(2是指平方，∫∫下面有个∑）

计算曲面积分∫∫x2y2zdxdy,其中∑是球面x2+y2+z2=1的上半平面的上侧.(2是指平方，∫∫下面有个∑）  

计算曲面积分∫∫x2y2zdxdy,其中∑是球面x2+y2+z2=1的上半平面的上侧.(2是指平方，∫∫下面有个∑）

补充3个平面
x＝0，y＝0，z＝0
构成封闭曲面
利用高斯公式化为三重积分
计算xy在1/8单位球上的三重积分
结果应该是1/15

利用高斯公式
I＝∫∫∫x^2*y^2dV(积分区间为半球体)-∫∫0dxdy(次曲面积分向下,z=0)
＝∫∫∫x^2*y^2dV
＝(利用轮换性3x^2=x^2+y^2+z^2,3y^2=x^2+y^2+z^2)
＝2/9∫∫∫(x^2+y^2+z^2)dV
＝2/9∫∫∫r^2dV（用球体坐标计算）
＝2/9*∫sinφdφ∫dθ∫r^3dr(0≤r≤1，0≤θ≤2π,0≤φ≤π/2)
＝2/9*1*2π*1/4
＝π/9

计算曲面积分I=? Σyzdzdx+2dxdy，其中Σ为上半球面z=4?x2?y2的上侧

补充曲面：∑1：z＝0 (x2+y2≤4)取下侧，则
I＝

∫∫ ∑+∑1

yzdzdx+2dxdy?

∫∫ ∑1

yzdzdx+2dxdy=I1-I2
其中I1应用高斯公式，得
I1＝

∫∫∫ Ω

zdxdydz （Ω为∑+∑1所围成的立体区域）
=

∫ 1 0

zdz

∫∫ Dz

dydz （Dz：x2+y2≤4?z2）
=

7 4

π
而I2由于∑1在zox面的投影为0，在xoy面的投影为D：x2+y2≤4
∴I2＝2

∫∫ ∑1

dxdy＝?2

∫∫ D

dxdy＝?8π
∴I＝

7 4

π+8π＝

39 4

π

计算曲面积分?Σdxdy，其中Σ是球面x2+y2+z2=1在第五卦限的外侧

由于球面x2+y2+z2=1在第五卦限部分，有z＝?

1?x2?y2

，且第五卦限部分在xoy面的投影为
Dxy＝{(x，y)|0≤x2+y2≤1，0≤x≤1，0≤y≤1}={(r，θ)|0≤r≤1，0≤θ≤

π 2

}
∴

? Σ

dxdy=?

∫∫ Dxy

xy(?

1?x2?y2

)dxdy
=

∫ π 2 0

sinθcosθdθ

∫ 1 0

r2

1?r2

?rdr
=

1 4 ∫ 1 0

r2

1?r2

dr2
=

1 4

(

2 3

?

3 5

)＝

1 60

求曲面积分?S（x2z+y2z）dS，其中S是半球面x2+y2+z2=4，z≥0

曲面方程为：z＝

4?x2?y2

，
故dS＝

1+(

x 4?x2?y2

)2+(

y 4?x2?y2

)2

dxdy=

2 4?x2?y2

dxdy＝

2 z

dxdy．
设D={（x，y）|x2+y2≤4}，则

? S

（x2z+y2z）dS
=

? D

2(x2+y2)dxdy
=2

∫ 2π 0

dθ

∫ 2 0

r2?rdr
=2?[θ

] 2π 0

?[

π2

求曲面积分∮∫x2ydzdx+z2xdydz+y2zdxdy,其中∑为x2+y2=1.z=x2+y2与z=0所围成的封闭曲面的外侧,

Gauss公式。
∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z = 1 + 1 + 2z - 2 = 2z
∫∫Σ xdydz + ydzdx + (z² - 2z)dxdy
= ∫∫∫Ω 2z dxdydz
= 2∫(0→1) z dz ∫∫Dz dxdy
= 2∫(0→1) z * πz² dz
= 2π * (1/4)[ z⁴ ]|(0→1)
= 2π * (1/4)
= π/2
普通方法。Σ₁：z = √(x² + y²)下侧、Σ₂：z = 1上侧
∫∫Σ xdydz + ydzdx + (z² - 2z)dxdy
= ∫∫Σ₁ xdydz + ydzdx + (z² - 2z)dxdy + ∫∫Σ₂ xdydz + ydzdx + (z² - 2z)dxdy
= - ∫∫D (- P * ∂z/∂x - Q * ∂z/∂y + R) dxdy + ∫∫D (1 - 2) dxdy
= - ∫∫D [- x * x/√(x² + y²) - y * y/√(x² + y²) + (z² - 2z)] dxdy - ∫∫D dxdy
= - ∫∫D [- x²/√(x² + y²) - y²/√(x² + y²) + (x² + y²) - 2√(x² + y²)] dxdy - π(1)²
= - ∫∫D [x² + y² - 3√(x² + y²)] dxdy - π
= - ∫(0→2π) dθ ∫(0→1) (r² - 3r)r dr - π
= - 2π * [1/4 * r⁴ - r³]|(0→1) - π
= - 2π * (1/4 - 1) - π
= π/2

计算曲面积分∫∫x^3dydz+y^3dzdx+z^3dxdy,∑是上半球面z=根下1-x^2-y^2的上侧

解：在半球面∑上添加圆面S：(x²+y²=1，z=0)，使之构成封闭曲面V=∑+S。
∵∫∫<S>x³dydz+y³dzdx+z³dxdy=0 (∵z=0，∴dz=0)
∴ ∫∫<∑>x³dydz+y³dzdx+z³dxdy+∫∫<S>x³dydz+y³dzdx+z³dxdy
=∫∫∫<V>(3x²+3y²+3z²)dxdydz (应用高斯公式)
=3∫∫∫<V>(x²+y²+z²)dxdydz
=3∫<0,2π>dθ∫<0,π/2>dφ∫<0,1>r²*r²sinφdr (作球面坐标变换)
=3*(2π)*(cos(0)-cos(π/2))*(1^5/5-0^5/5)
=6π/5
故∫∫<∑>x³dydz+y³dzdx+z³dxdy=∫∫∫<V>(3x²+3y²+3z²)dxdydz-∫∫<S>x³dydz+y³dzdx+z³dxdy
=6π/5-0
=6π/5。

计算曲面积分 ∫∫(x^2+y^2）ds，其中 ∑是上半球面z=根号(4-x^2-y^2)

dz/dx=-x/√(4-x²-y²)，dz/dy=-y/√(4-x²-y²)
dS=√[1+(dz/dx)²+(dz/dy)²] dxdy=2/√(4-x²-y²) dxdy
∫∫ (x²+y²) dS
=2∫∫ (x²+y²)/√(4-x²-y²) dxdy
极坐标
=2∫∫ r²/√(4-r²) *rdrdθ
=2∫[0→2π]dθ∫[0→2] r³/√(4-r²) dr
=4π∫[0→2] [r²/√(4-r²)] *rdr
换元，令√(4-r²)=u，则r²=4-u²，两边微分，rdr=-udu，u：2→0
=-4π∫[2→0] [(4-u²)/u] *udu
=4π∫[0→2] (4-u²)du
=4π(4u-(1/3)u³) |[0→2]
=32π-32π/3
=64π/3

计算坐标的曲面积分∫∫x2√zdxdy,S是抛物面z=x2+y2被圆柱面x2+y2=R2所截部分的上侧

解：∫∫<S>x^2√zdxdy=∫<0,2π>dθ∫<0,R>(rcosθ)^2*r*rdr (作极坐标变换)
=∫<0,2π>(cosθ)^2dθ∫<0,R>r^4dr
=(1/2)∫<0,2π>[1+cos(2θ)]dθ∫<0,R>r^4dr (应用倍角公式)
=(1/2)(2π)(R^5/5)
=πR^5/5。

利用高斯公式计算曲面积分I=∫∫(∑)xdydz+ydzdx+zdxdy ，其中∑为半球面z=√(R^2-x^2-y^2) 的上侧

为了利用高斯公式，将目标曲面补成封闭的曲面，且方向向外侧，最后积分值减去这一部分即可.
目标曲面为半球面，补充半球面的底面部分，设为∑a. 新形成的封闭曲面设为 ∑b. 在底面时，z = 0，dz = 0.
则：原积分 I = ∫∫(∑b)xdydz+ydzdx+zdxdy - ∫∫(∑a)xdydz+ydzdx+zdxdy
= ∫∫∫ 3 dV - 0
= 3V(半球)
= 2πR^3.