圆周角定理例题 圆周角定理详细资料大全

圆周角定理详细资料大全  

圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。这一定理叫做圆周角定理。该定理反映的是圆周角与圆心角的关系。

基本介绍

中文名：圆周角定理外文名：The circumferential angle theorem套用学科：数学适用领域范围：欧氏几何 定理内容,定理证明,定理推论,

定理内容

圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。

定理证明

已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC. 证明： 情况1： 如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时： ∵OA、OC是半径 图1 解：∴OA=OC ∴∠BAC=∠ACO（等边对等角） ∵∠BOC是△AOC的外角 ∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC 情况2： 如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时： 连线AO，并延长AO交⊙O于D∵OA、OB、OC是半径 图2 解：∴OA=OB=OC ∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角） ∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角 ∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和） ∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和） ∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC 情况3： 如图3，当圆心O在∠BAC的外部时：连线AO，并延长AO交⊙O于D连线OA,OB。 图3 解：∵OA、OB、OC、是半径 ∴OA=OB=OC ∴∠BAD=∠ABO（等腰三角形底角相等）,∠CAD=∠ACO(OA=OC） ∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角 ∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和） ∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和） ∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC 圆心角等于180度的情况呢？ 看情况1的图，圆心角∠AOB=180度，圆周角是∠ACB， 显然因为∠OCA=∠OAC=∠BOC/2 ∠OCB=∠OBC=∠AOC/2 所以∠OCA+∠OCB=（∠BOC+∠AOC）/2=90度 所以2∠ACB=∠AOB 圆心角大于180度的情况呢？ 看情况3的图，圆心角是（360度-∠AOB），圆周角是∠ACB， 只要延长AO交园于点D，由圆心角等于180度的情况可知∠ACD=∠ABD=90度 根据情况3同理可证：∠BOC=2∠BAC=2∠BDC 根据情况1和情况3同理可证：∠AOC=2∠ADC=2∠ABC 所以∠ACB+∠ADB=∠ACB+∠ADC+∠BDC=∠ACB+∠ABC+∠BAC=180度 即∠ACB=180度-∠ADB 由情况2可知：∠AOB=2∠ADB 所以360度-∠AOB=2（180度-∠ADB）=2∠ACB

定理推论

1.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；圆周角图 2.圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半； 3.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。 4.半圆（直径）所对的圆周角是直角。 5.90°的圆周角所对的弦是直径。 6.等弧对相等的圆周角。（因为相等的弧只有一个圆心角） 注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有无数个。