如图用离心泵将20°C 如图，已知抛线C：x2=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于

如图，已知抛线C：x2=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于  

如图，已知抛线C：x2=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于

（1）依题意可设AB的方程为y=kx+2，代入x2=4y，
得x2=4（kx+2），即x2-4kx-8=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1x2=-8．
直线AO的方程为y=

y1  x1

x，BD的方程为x=x2，
解得交点D的座标为

x＝x2 y＝

y1x2 x1

，
x1x2=-8，x12=4y1，
∴y=

y1x1x2 x12

=-

8y1 4y1 

=-2，
∴点D在定直线y=-2上，（x≠0），
∴D的纵座标y0=-2．
（2）依题意，切线l的斜率存在且不等于0．
设切线l的方程为y=ax+b（a≠0），代入x2=4y，得x2=4（ax+b），
即x2-4ax-4b=0．
由△=0得（4a）2+16b=0，化简整理得b=-a2．
故切线l的方程可写为y=ax-a2．
分别令y=2，y=-2，得N1，N2的座标为N1（

2 a

+a，2），N2（-

2 a

+a，-2）
则|MN2|2-|MN1|2=(

2 a

?a)2+42?(

2 a

+a)2=8．

已知抛物线x2=-4y过点M(0,-4)的直线与抛物线相交于AB两点

刚答过一个。
（1）设直线方程为y=kx-4，代入x²=-4y，得x²+4kx-16=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)，则
x1+x2=-4k，x1x2=-16
y1+y2=k(x1+x2)-8=-4k²-8
y1y2=(kx1-4)(kx2-4)=k²x1x2-4(x1+x2)+16=-16k²+16k²+16=16
所以 向量OA•OB=x1x2+y1y2=0，OA⊥OB，所以以AB为直径的圆过原点O
（2）2S=|OA|•|OB|，
4S²=|OA|²|OB|²=(x1²+y1²)(x2²+y2²)
=(-4y1+y1²)(-4y2+y2²)
=y1y2(y1-4)(y2-4)=16[y1y2-4(y1+y2)+16]
=16(32+16k²+32)=256(k²+4)
S²=64(k²+4)，当k=0时，S的最小值为16

如图，直线y=x+2与y轴相交于点A0，过点A0作x轴的平行线交直线y=0.5x+1于点B1，过点 B1作y轴的平行线交直

对于直线y=x+2，令x=0，求出y=2，即A0（0，2），
∵A0B1∥x轴，∴B1的纵座标为2，
将y=2代入y=0.5x+1中得：x=2，即B1（2，2），
∴A0B1=2=21，
∵A1B1∥y轴，∴A1的横座标为2，
将x=2代入直线y=x+2中得：y=4，即A1（2，4），
∴A1与B2的纵座标为4，
将y=4代入y=0.5x+1中得：x=6，即B2（4，6），
∴A1B2=4=22，
同理A2B3=8=23，…，An-1Bn=2n，
则A7B8的长为28=256．
故选C．

如图，反比例函式y=- 的影象与直线y=- 的交点为A，B，过点A作y轴的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点

A

已知过点A（-4,0）的动直线l与抛物线C:x^2=4y相交于B，C两点。

设L：y=k(x＋4)，其中k为直线斜率。则BC的中垂线的斜率是－1/k，联立y=k(x＋4)和抛物线x²=4y，得：x²=4k(x＋4)，即：x²－4kx－16k=0 ------------(***)
1、此方程判别式△=16k²＋64k>0，得：k>0或k<－4；
2、BC中点的横座标是x0=(x1＋x2)/2，其中x1、x2是方程(***)的两根，则x0=2k，代入直线L中，得：y0=2k(k＋2)，则BC的中垂线方程是y=－(1/k)(x－2k)＋2k(k＋2) --------(**)
以x=0代入(**)中，得：b=y=2k(k＋2)＋2=2k²＋4k＋2=2(k＋1)²【此为BC中垂线在y轴上的截距】，因k>0或k<－4，则结合二次函式影象，得：y>2，即直线BC的中垂线在y轴上的截距的范围是： b∈(2，＋∞)

已知y^2=4x,过点M(0,2)的直线l与抛物线交于A,B两点，且直线l与x轴交于点C

(1)设过M(0,2）的直线y-2=kx,联立y-2=kx和y^2=4x，可得k^2x^2+(4k-2)x+4=0
在判别式=-32+k^2>0时，有x1+x2=-4(k-1)/k^2,x1*x2=4/k^2
设A(x1,kx1+2) B(x2,kx2+2)
则|MC|^2=4/k^2+4
|MA|=根号(x1^2+k^2x1^2) |MB|=根号(x2^2+k^2x2^2)
所以|MA|*|MB|=根号（(1+2k^2+k^4)*16/k^4)=根号（（k^2+1）^2*4/k^2）=4/k^2+4
所以MA|*|MB|=|MC|^2，即|MA|,|MC|、|MB|成等比数列
（2）还没做出来,感觉上应该要用（1）结论，但是没做出
向量MA=α向量AC，所以向量MC=向量MA+向量AC=（α+1）向量AC。
利用（1）结论，|MC|^2=（α+1）^2*|AC|^2=|MA|*|MB|=α|AC|*β|BC|
所以|AC|/|BC|=（α+1）/β……再想想

已知抛物线C：x2=2py过点P(1，12)，直线l交C于A，B两点，过点P且平行于y轴的直线分别与直线l和x轴相交于

（1）∵P(1，

1 2

)在抛物线C上，∴1=2p?

1 2

，得p=1．  …（3分）
（2）假设存在定点Q，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的方程为y=kx+b．
联立

y＝kx+b x2＝2y

得x2-2kx-2b=0，
当△=4k2+8b＞0时，有x1+x2=2k，x1x2=-2b．         …（6分）
∴（x1-1）（x2-1）=x1x2-（x1+x2）+1=-2b-2k+1（*）
由题意知，N（1，0），M（1，k+b），
因为△PAM与△PBN的面积相等，所以

1 2

|PN|?|1?x2|＝

1 2

|PM|?|1?x1|，
即|1?x2|＝2|k+b?

1 2

|?|x1?1|，
也即|1-x2|=|2k+2b-1|?|x1-1|…（10分）
根据（*）式，得（x1-1）2=1，解得x1=0或x1=2．
所求的定点Q即为点A，
即l过Q（0，0）或Q （2，2）时，满足条件．                      …（14分）

如图，抛物线y=x 2 +bx+ 9 2 与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象

∵令x=0，则y=

9 2 ，
∴点A（0，

9 2

），
根据题意，点A、B关于对称轴对称，
∴顶点C的纵座标为

1 2

×

9 2

=

9 4

，
即

4×1×

9 2

-b 2

4×1

=

9 4

，
解得b 1 =3，b 2 =-3，
由图可知，-

b 2×1

＞0，
∴b＜0，
∴b=-3，
∴对称轴为直线x=-

-3 2×1

=

3 2

，
∴点D的座标为（

3 2

，0），
设平移后的抛物线的解析式为y=x 2 +mx+n，
则

n=

9 2 9 4

+

3 2

m+n=0

，
解得

m=-

9 2 n=

9 2

，
所以，y=x 2 -

9 2

x+

9 2

．
故答案为：y=x 2 -

9 2

x+

9 2

．

过点A(0,－2)的直线与抛物线Y^2=4X相交于两点P,Q,

解;设PQ的中点为N(a,b)
P(x1,y1),Q(x2,y2)
则y1^2=4x1,y2^2=4x2,两式相减得
(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2)
又y1+y2=2b,(y1-y2)/(x1-x2)=(b+2)/(a-0)(因为APQN四点共线)
所以2b*(b+2)/a=4
即b^2+2b-2a=0
设点M(x,y),则由平行四边形的性质可得a=x/2,b=y/2,代入得
y^2+4y-4x=0,即是所求点M的轨迹方程.

（2013?绍兴一模）过点M（2，0）的直线l与抛物线C：y2=4x相交于A，B两点，过点A，B分别作y轴的垂线交直线

解答：（本小题满分15分）
（Ⅰ）解：若四边形A′B′BA为等腰梯形，
则kAB=2，
故直线l的方程为y=2x-4．…（2分）
（Ⅱ）证明：设直线AB的方程为x=ty+2，A（x1，y1），B（x2，y2），
则A′(?

y1+2 2

，y1)，B′(?

y2+2 2

，y2)，
由

x＝ty+2 y2＝4x

，得y2-4ty-8=0，
∴y1+y2=4t，y1y2═-8．…（4分）
因为A′，O，B三点共线，所以

y2 ty2+2

＝

?2y1 y1+2

，…（5分）
即2y1+y2=8t+4，又y1+y2=4t，得y2=-4，又y1y2=-8，
所以y1=2，所以A（1，2），B′（1，-4），…（7分）
故直线AB′与y轴平行．…（8分）
（Ⅲ）解：设Q（m，y0），由已知以AB为直径的圆经过点Q，
得kQA?kQB=-1，…（9分）
即

y1?y0 x1?m

?

y2?y0 x2?m

＝?1，
即y1y2?y0(y1+y2)+

y 2 0

=?x1x2+m(x1+x2)?m2．（*）
由（Ⅱ）知y1+y2=4t，y1y2=-8，
则x1x2=4，x1+x2＝4t2+4，
代入（*）式，得y02?4ty0+m2?4m?4mt2?4＝0．…（11分）
因为总存在点Q，所以关于y0的方程恒有解，所以△≥0要恒成立．
即16t2-4m2+16m+16mt2+16≥0对一切的t∈R恒成立，
整理后得（4m+4）t2≥m2-4m-4．…（12分）
①当m≤-1时，上式不可能对一切的t∈R恒成立；…（13分）
②当m＞-1时，t2≥

m2?4m?4 4m+4

对一切的t∈R恒成立，
只需要m2-4m-4≤0，即2-2

2

≤m≤2+2

2

．…（14分）
综上，所求的实数m的取值范围为[2?2

2

，2+2

2

]． …（15分）