设fx的一个原函数为lnx2则 设函式f(x)=lnx(1+x)-lnx+ln(1+x).求f(x)的单调区间和极值。

设函式f(x)=lnx(1+x)-lnx+ln(1+x).求f(x)的单调区间和极值。  

设函式f(x)=lnx(1+x)-lnx+ln(1+x).求f(x)的单调区间和极值。

首先，定义域x>0
求导f'(x)=-xlnx/[x(x+1)^2]
另g(x)=-xlnx
但是g(x)这个函式我们也没有研究过，所以继续求二重导
g'(x)=-lnx-1
根据g'(x)影象不难得出，g(x)在（0，1/e）上递增，在[1/e,正无穷）上递减
所以g(x)的最大值g'(1/e)=1/e>0
所以g(x)也有解
g(x)=-xlnx=0,x=1是解
所以根据g(x)，不难得出f(x)在(0,1)上递增，在[1,正无穷]上递减
所以最大值f(1)=ln2

设函式f(x)=（1+x）^2-2ln（1+x）求函式的单调区间和极值

设函式f(x)=（1+x)²-2ln(1+x)，求函式的单调区间和极值
解：f(x)的定义域为：(-1，+∞）
f′(x)=2(1+x)-2/(1+x)=[2(1+x)²-2]/(1+x)=2(x²+2x)/(1+x)=2x(x+2)/(x+1)
当-1<x<0时f′(x)<0，故在区间(-1，0)内f(x)单调减；当x>0时f′(x)>0，故在区间(0，+∞)单调增。
当x=0时f(x)获得极小值，minf(x)=f(0)=1.

设函式f（x）＝x－lnx,求f（x）的单调区间和极值

f(x) = x-lnx
f'(x) =1-1/x =0
x-1 =0
x=1
f''(x) = 1/x^2
f''(1)>0 (min )
min f(x) = f(1) = 1
单调区间
增加 [ 1, ∞ )
减小 ( 0, 1]

已知函式f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2.求函式的单调区间和极值

设函式f（x）=（1+x）2-ln（1+x）2
（1）求函式f（x）的单调区间；
（2）当x∈[1e-1，e-1]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围；
（3）关于x的方程f（x）=x2+x+a在[0，2]上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围． （e 为自然常数，约等于2.718281828459）考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题．分析：（1）先求函式的定义域，然后求导函式，令导数大于0（小于0），从而求出函式的单调区间；
（2）由（1）得f（x）在 x∈[1e-1，e-1]的单调性，进一步求出f（x）max，得到m的范围；
（3）方程f（x）=x2+x+a，即x-a+1-ln（1+x）2=0，建构函式g（x）=x-a+1-ln（1+x）2，确定函式g（x）在[0，1]上递减，在[1，2]上递增，从而问题等价于只须g（x）=0在[0，1）和（1，2]上各有一个实根，故可求．解答：解：（1）函式定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞），∵f′(x)=2[(x+1)-1x+1]=2x(x+2)x+1，
由f'（x）＞0，得-2＜x＜-1或x＞0，由f'（x）＜0，得x＜-2或-1＜x＜0．
则递增区间是（-2，-1），（0，+∞），递减区间是（-∞，-2），（-1，0）．------------（4分）
（2）由f′(x)=2x(x+2)x+1=0，得x=0或x=-2
由（1）知，f（x）在[1e-1，0]上递减，在[0，e-1]上递增-------------（6分）
又f(1e-1)=1e2+2，f(e-1)=e2-2，且e2-2＞1e2+2
∴x∈[1e-1，e-1]时，[f（x）]max=e2-2，
故m＞e2-2时，不等式f（x）＜m恒成立-------------------------（9分）
（3）方程f（x）=x2+x+a，即x-a+1-ln（1+x）2=0
记g（x）=x-a+1-ln（1+x）2，则g′(x)=1-21+x=x-1x+1
由g'（x）＞0，得x＜-1或x＞1，由g'（x）＜0，得-1＜x＜1．
∴g（x）在[0，1]上递减，在[1，2]上递增 （11分）
为使f（x）=x2+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，只须g（x）=0在[0，1）和（1，2]上各有一个实根，
于是有{g(0)≥0，g(1)＜0，g(2)≥0.解得2-2ln2＜a≤3-2ln3--------（15分）点评：本题以函式为载体，考查函式的单调性，考查函式的最值，同时考查了方程根的讨论．解决不等式恒成立求引数的范围，一般是将引数分离出来，通过建构函式，利用导数求出函式的单调性进一步求出函式的最值，得到引数的范围．

设函式f(x)=x-2ln(x+1),求f(x)的单调区间和极值.

定义域为x>-1
f'(x)=1-2/(x+1)=(x+1-2)/(x+1)=(x-1)/(x+1)
得极值点为x=1
当-1<x<1时，单调减；
当x>1时，单调增；
f(1)=1-2ln2为极小值

已知函式f(x)=x(1+x)方，求函式单调减区间和极值

f(x)=x³+2x²+x
f'(x)=3x²+4x+1=0
x=-1,x=-1/3
则x<-1,x>-1/3,f'(x)>0,递增
-1<x<-1/3,递减
所以x=-1是极大，x=-1/3极小
所以
减区间是(-1,-1/3)
极大值=f(-1)=0
极小值=f(-1/3)=-4/27

求函式f（x）=x2lnx的单调区间和极值

由题意可知函式的定义域为：（0，+∞）
又f′（x）=2x?lnx+x2?

=2x?lnx+x，
由f′（x）≤0知，2x?lnx+x≤0，
∴0≤x≤e?

，
又因为x＞0，所以函式的递减区间是（0，e?

]．函式的单调增区间为（e?

，+∞），
函式在x=e?

时函式取得极小值：y极小=f（e?

）=?

．

设a∈R，函式f（x）=lnx-ax． （Ⅰ）讨论函式f（x）的单调区间和极值；

f（x）=lnx-ax
f(x)的定义域为：x>0
当a=0时，f(x)=lnx 单调增，无极值
当a≠0时
f'(x)=1/x-a=(1-ax)/x
当 a<0时 f'(x)>0 单调增，无极值
当a>0时
当 x>1/a f'(x)<0 单调减
当 x<1/a f'(x)>0 单调增
当x=1/a时，有极小值，f(1/a)=ln(1/a)-1=-(lna+1)

设函式f（x）=x-lnx，求f（x）的单调区间与极值

∵f′(x)＝1?

＝

，
由f′（x）=0得x=1．
当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；      
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；    
∴x=1是函式f（x）的极小值点，
故f（x）的极小值是1．

f(x)=(lnx+a)/x 求f（x）的单调区间和极值

f(x)=(lnx+a)/x的定义域是（0，正无穷大）。f（x）在定义域是可导的，f(x)‘=(1-a-lnx)/x2
令f(x)‘=0得lnx=1-a；X=e1-a；lnx在定义域内是增函式，所以在（0，e1-a）内f(x)‘大于0，f(x)是增函式。在（e1-a，正无穷大）f(x)‘小于0；f(x)是减函式；X=e1-a时，f(x)=ea-1为极大值。注：ea-1是e的a-1次方