如果用n表示三个连续自然数 在3n+2（n为自然数）不可能是完全平方数的证明中,为什么要分3种情况,3种情况就概况了吗

在3n+2（n为自然数）不可能是完全平方数的证明中,为什么要分3种情况,3种情况就概况了吗  

在3n+2（n为自然数）不可能是完全平方数的证明中,为什么要分3种情况,3种情况就概况了吗

3n+2（n为自然数）不可能是完全平方数的证明如下;
假设3n+2=m^2
那么现在看有没有满足条件的m使得：m^2 - 2 = 3n
由于不知道m,n的具体条件，对于m分情况讨论：
(1)当m是3的倍数：即m = 3k (k任意整数)
此时m^2 - 2 = 9(k^2) - 2 = 3(3*k^2 -1) +1 也就是说，被3除余1；
(2)m被3除余1的情况：m=3k+1
此时m^2 - 2= 9*k^2 + 6k -1 = 3(3*k^2 + 2k ) -1 即被三除余2；
(3)m被3除余2的情况：m=3k+2
此时m^2 - 2 = 9*k^2 + 12k + 4 -2 = 9*k^2 + 12k + 2 = 3(3*k^2 +4k) +1 被3除余2
所以可以知道：不管m取什么样的整数，其平方数减2 即【m^2 - 2】都永远不可能被3除尽
也就是：【m^2 - 2 = 3n】不可能成立
也就是：3n+2=m^2不可能成立 所以形如3n+2的数不是完全平方数。
再来回答你提出的疑问;
一个自然数列,可以用N来表示,
也可以用2N,2N+1,来表示
也可以用3N,3N+1,3N+2来表示
也可以用4N,4N+1,4N+2,4N+2来表示
。。。
上面的表示法就概括了所有的自然数，而且表达不重复
例用4N,4N+1,4N+2,4N+2来表示，当N=0时，有0，1，2，3，当N=1时，有4，5，6，7，。。。
可以看出包含了所有的自然数，如果你能证明每一个分数列都不成立，则整个的自然数列也不成立
你的这一题的证明方法就是这样的
看能不能找到一个m来满足方程m^2 - 2 = 3n
m是一个自然数，如果能直接证明m^2 - 2 = 3n，m∈N当然更好，但不好证，所以把这个自然数列分成3份，{3k
3k+1
3k+2 k∈N
{3k}∪{3k+1}∪{3k+2 }={N}
只要能证明这三种情况都不能满足方程，则对于所有的N都不能满足，从而得证
至于分情况具体证明的问题，如果看不懂，请追问

证明n乘（n+1)不可能是完全平方数（n为任何数）

因为（n+1)^2=n^2+2n+1=n^2+n+n+1
所以n(n+1)=n^2+n<（n+1)^2
因为n(n+1)>n^2
所以n^2<n(n+1）<（n+1)^2
所以n乘（n+1)不可能是完全平方数（n为任何数）

说明3（5n+1）不是完全平方数（n为自然数）

证明：现在，假设n为奇数：不管n为哪个奇数，5n的末位数一定是5。这样，式子变成了3×（5+1），等于18，末位是8。可是根据这一条完全平方数的性质，就能判别正误了。
请看这边：完全平方数的末位数字只能是0、1、4、5、6、9这6个数中的某一个。显然不对。看看偶数会怎么样。
如果n为偶数，这样5n末位一定为0。式子现在又变成了：3×（0+1），等于3。还是看上面完全平方数的定律，答案也是错。现在已经证明出来了。

如何证明对任和自然数n，n(n+1)都不可能是完全平方数？

n^2<n(n+1)<(n+1)^2
所以n(n+1)如果是某个整数的平方，那么它大于n，小于n+1，这是不可能的。

试证：像3n+2的数不是完全平方数

整数被3除，只有三种可能，即3k、3k+1、3k+2，因此，只需证明任何整数平方后都不可能是3n+2的形即可。
证明：∵整数被3除，只有三种可能性，即余数为0、1、2
可以表示为3k、3k+1、3k+2
∵(3k)2=9k2=3(3k2)
(3k+1)2=9k2+6k+1=3(3k2+2k)+1
(3k+2)2=9k2+12k+4=9k2+12k+3+1=3(3k2+4k+1)+1
即被3除的任何整数平方后，只能是3n或3n+1的形式
∴形如3n+2的数不可能是完全平方数。

求证：x^7+7，xεN，不可能是完全平方数

用反证法~
设n^7+7=x^2对于(n,x)成立
(1)若n为偶数,则x^2≡3(mod4),不可能,即n为奇数
(2)因为4│n^7+7,所以n≡1(mod4)
(3)x^2+11^2=n^7+128=(n+2)(n^6-2n^5+4n^4-8n^3+16n^2-32n+64)
!如果11不能整除x,
因为x^2+11^2的每一个质因子p都是奇数,若p≡3(mod4),则由x^2≡-11^2(modp)可得x^(p-1)≡-11^(p-1)≡-1(modp),不可能,
所以对于x^2+11^2的任意质因子p都有p≡1(mod4)
但是因为n+2│x^2+11^2,而n+2≡3(mod4),与p≡1(mod4)矛盾.
!!如果11可以整除x,设x=11y,则上式可表示为
121(y^2+1)=(n+2)(n^6-2n^5+4n^4-8n^3+16n^2-32n+64),
将n≡0,±1,±2,±3,±4,±5代入n^6-2n^5+4n^4-8n^3+16n^2-32n+64验证知其不为11的倍数,
所以有121│n+2,既有
y^2+1=((n+2)/121)(n^6-2n^5+4n^4-8n^3+16n^2-32n+64)
同上可以证明y^2+1每一个质因子p≡1(mod4),但是由((n+2)/121)≡3(mod4)知其矛盾
综上,n^7+7不是完全平方数.
(别人的证明，供你参考）

试说明对于任何自然数n,n*(n+1)都不可能是完全平方数

在相邻两个完全平方数之间不可能再有一个完全平方数
n^2<n*(n+1)<(n+1)^2自然不是了 （俗称“夹逼法”）

求使得n^2-17n+73是完全平方数的n的值（n为自然数）。

令y=n^2-17n+73=a^2
则n^2-17n+72=a^2-1
∴(n-8)(n-9)=(a+1)(a-1),③
原方程(视a为常数)Δ=4a^2-3
要使该方程有整数解,
有Δ=4a^2-3=b^2
易得a=-1或1
代入③=0
这就表明③成立的条件为a=-1或1
∴n＝8或9

证明：形如3n+2的数不是完全平方数，其中n为正整数

假设 它是k的平方
则 k= 3p 或者 3p+1 或者3p+2 也就是说除以三余0或者1或者2
(3p)^2除以三余0
(3p+1)^2=9p^2+6p+1,(3p+2)^2=9p^2+12p+4 除以三都余1
所以没有数的平方 除以三余2

证明：3n+2的数步是完全平方数，其中n为正整数

反证法。
证：假设3n+2的数是完全平方数，即3n=m^2，m为正整数。
1）若m=3q±1，m^2=9q^2±6q+1=3(3q^2±2q)+1≠3n+2，
2）若m=3q，m^2=9q^2=3(3q^3)≠3n+2，
综上所述，假设不成立，即3n+2的数不是完全平方数。
（Kristy__:m被3 整除的余数是0或1，-1,这种说法是错的，余数不可能为负数。）