线性规划迭代过程 多目标线性规划详细资料大全

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在相同的条件下，要求多个目标函式都得到最好的满足，这便是多目标规划。 若目标函式和约束条件都是线性的，则为多目标线性规划。

基本介绍

中文名：多目标线性规划外文名：Multi - objective linear programming别名：多目标最最佳化学科：数学隶属：线性规划套用：交通、经济等 思想来源,基本内容,基本模型,求解方法,套用举例,

思想来源

多目标最最佳化思想，最早是在1896年由法国经济学家V.帕雷托提出来的。他从政治经济学的角度考虑把本质上是不可比较的许多目标化成单个目标的最最佳化问题，从而涉及了多目标规划问题和多目标的概念。1947年，J.冯·诺伊曼和O.莫根施特恩从对策论的角度提出了有多个决策者在彼此有矛盾的情况下的多目标问题。1951年，T.C.库普曼斯从生产和分配的活动中提出多目标最最佳化问题，引入有效解的概念，并得到一些基本结果。同年，H.W.库恩和 A.W.塔克尔从研究数学规划的角度提出向量极值问题,引入库恩-塔克尔有效解概念，并研究了它的必要和充分条件。1963年，L.A.扎德从控制论方面 提出多指标最最佳化问题，也给出了一些基本结果。1968年，A.M.日夫里翁为了排除变态的有效解，引进了真有效解概念，并得到了有关的结果。自70年代以来，多目标规划的研究越来越受到人们的重视，多目标规划仍处于发展阶段。

基本内容

线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、套用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料。二是生产组织与计画的改进，即合理安排人力物力资源。线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好。一般地，求线性目标函式线上性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。决策变数、约束条件、目标函式是线性规划的三要素。 多目标规划是数学规划的一个分支。研究多于一个的目标函式在给定区域上的最最佳化。又称多目标最最佳化。通常记为 MOP。多目标规划的概念是 1961年由美国数学家查尔斯和库柏首先提出的。多目标最最佳化思想，最早是在1896年由法国经济学家V.帕雷托提出来的。他从政治经济学的角度考虑把本质上是不可比较的许多目标化成单个目标的最最佳化问题，从而涉及了多目标规划问题和多目标的概念。 求解多目标规划的方法大体上有以下几种：一种是化多为少的方法 ， 即把多目标化为比较容易求解的单目标或双目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。对多目标的线性规划除以上方法外还可以适当修正单纯形法来求解；还有一种称为层次分析法，是由美国运筹学家沙旦于70年代提出的，这是一种定性与定量相结合的多目标决策与分析方法，对于目标结构复杂且缺乏必要的数据的情况更为实用。

基本模型

多目标线性规划有着两个和两个以上的目标函式，且目标函式和约束条件全是线性函式，其数学模型表示为： 约束为： 式中X为决策变数向量,如果将上面两个式子进一步缩写， ， 。其中： 是 k维函式向量 K是目标函式的个数；G 是 m维常数向量； m是约束方程的个数。 对于线性多目标规划问题，上述式子可以进一步用矩阵表示： 式中X为 n维决策变数向量；A为 k× n矩阵，即目标函式系数矩阵；B为 m× n矩阵，即约束方程系数矩阵；b为 m维的向量，约束向量。

求解方法

多目标线性规划是多目标最最佳化理论的重要组成部分，由于多个目标之间的矛盾性和不可公度性，要求使所有目标均达到最优解是不可能的，因此多目标规划问题往往只是求其有效解(非劣解)。目前求解多目标线性规划问题有效解的方法，有理想点法、线性加权和法、最大最小法、目标规划法，模糊数学解法等。为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将多目标规划问题转化为单目标规划问题去处理。实现这种转化，有如下几种建模方法。 1、效用最最佳化模型 2、 罚款模型 3、 约束模型 4、 目标达到法 5、 目标规划模型 效用最最佳化模型（线性加权法）思想：规划问题的各个目标函式可以通过一定的方式进行求和运算。这种方法将一系列的目标函式与效用函式建立相关关系，各目标之间通过效用函式协调，使多目标规划问题转化为传统的单目标规划问题。罚款模型（理想点法） 思想: 规划决策者对每一个目标函式都能提出所期望的值（或称满意值）；通过比较实际值与期望值之间的偏差来选择问题的解。 约束模型（极大极小法）理论依据：若规划问题的某一目标可以给出一个可供选择的范围，则该目标就可以作为约束条件而被排除出目标组，进入约束条件组中。假如，除第一个目标外，其余目标都可以提出一个可供选择的范围，则该多目标规划问题就可以转化为单目标规划问题。目标达到法首先将多目标规划模型化为标准形式，在求解之前，先设计与目标函式相应的一组目标值理想化的期望目标与每一个目标对应的权重系数，再设松弛因子，对多目标规划问题进行转化。目标规划模型（目标规划法） 需要预先确定各个目标的期望值，同时给每一个目标赋予一个优先因子和权系数，假定有K个目标，L个优先权( L≤K)，再通过建立目标规划模型进行求解。

套用举例

例1.解图1所示的多目标线性规划问题。 解普通线性规划问题1：min 和约束条件，得最优解为 = 0， =2， = 2，最优值为2，此时 = 8。 图1 同理，解普通线性规划问题2： 和约束条件，得最优解为 = 10， = 0， = 0，最优值为20，此时 = 10。 同时考虑两个目标，合理的方案是使 ∈[ 2, 10 ]， ∈[ 8, 20 ]，可取伸缩指标分别为 = 10 - 2 = 8， = 20 - 8 = 12。如果认为目标 更重要，可单独缩小 ；如果认为目标 更重要，可单独缩小 。 再分别将两个目标函式模糊化,变为解普通线性规划问题，如图2： 图2 此时 = 5.43， = 14.86。得最优解为 = 6.29， = 0.29， = 1.43，λ= 0.57。