绝对值三角不等式定理 绝对值不等式详细资料大全

绝对值不等式详细资料大全  

在不等式套用中，经常涉及质量、面积、体积等，也涉及某些数学对象（如实数、向量）的大小或绝对值。它们都是通过非负数来度量的。

公式：||a|-|b|| ≤|a±b|≤|a|+|b|

基本介绍

中文名：绝对值不等式外文名：Absolute value inequality表达式： ||a|-|b|| ≤|a±b|≤|a|+|b|套用学科：数学 性质,几何意义,相关公式,

性质

|a|表示数轴上的点a与原点的距离叫做数a的绝对值。 两个重要性质： 1、|ab| = |a||b| |a/b| = |a|/|b| （b≠0） 2、|a|<|b| 可逆推出 |b|>|a| ||a| - |b|| ≤ |a+b| ≤ |a|+|b|，若且唯若 ab≤0 时左边等号成立，ab≥0 时右边等号成立。 另外有：|a-b| ≤ |a|+|-b| = |a|+|-1|*|b| = |a|+|b| | |a|-|b| | ≤ |a±b| ≤ |a|+|b|

几何意义

1、当a，b同号时它们位于原点的同一边，此时a与﹣b的距离等于它们到原点的距离之和。 2、当a，b异号时它们分别位于原点的两边，此时a与﹣b的距离小于它们到原点的距离之和。(|a-b|表示a-b与原点的距离，也表示a与b之间的距离)

相关公式

绝对值重要不等式推导过程： 我们知道|x|={x，(x>0);x，(x=0);-x，(x<0); 因此，有： -|a|≤a≤|a| ......① -|b|≤b≤|b| ......② -|b|≤-b≤|b|......③ 由①+②得： -(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b| 即 |a+b|≤|a|+|b| ......④ 由①+③得： -(|a|+|b|)≤a-b≤|a|+|b| 即 |a-b|≤|a|+|b| ......⑤ 另： |a|=|(a+b)-b|=|(a-b)+b| |b|=|(b+a)-a|=|(b-a)+a| 由④知： |a|=|(a+b)-b|≤|a+b|+|-b| => |a|-|b|≤|a+b|.......⑥ |b|=|(b+a)-a|≤|b+a|+|-a| => |a|-|b|≥-|a+b|.......⑦ |a|=|(a-b)+b|≤|a-b|+|b| => |a|-|b|≤|a-b|.......⑧ |b|=|(b-a)+a|≤|b-a|+|a| => |a|-|b|≥-|a-b|.......⑨ 由⑥，⑦得： | |a|-|b| |≤|a+b|......⑩ 由⑧，⑨得： | |a|-|b| |≤|a-b|......⑪ 综合④⑤⑩⑪得到有关 绝对值(absolute value)的重要不等式：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b| 要注意等号成立的条件（特别是求最值），即： |a-b|=|a|+|b|→ab≤0 |a|-|b|=|a+b|→b(a+b)≤0 |a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0 注：|a|-|b|=|a+b|→|a|=|a+b|+|b|→|（a+b）-b|=|a+b|+|b|→b(a+b)≤0 同理可得|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0 另 “→”指可双向推出 解法 解决与绝对值有关的问题（如解绝对值不等式，解绝对值方程，研究含有绝对值符号的函式等等），其关键往往在于去掉绝对值符号。而去掉绝对值符号的基本方法有二。 以下，具体说说绝对值不等式的解法： 其一为平方，所谓平方，比如，|x|=3，可化为x^2=9，绝对值符号没有了！ 其二为讨论，所谓讨论，即x≥0时，|x|=x ；x<0时，|x|=-x，绝对值符号也没有了！ 说到讨论，就是令绝对值中的式子等于0，分出x的段，然后根据每段讨论得出的x值，取交集，综上所述即可。 其三为数形结合法，即在数轴上将各点画出，将数转换为长度的概念求解。