三角形不等式证明 几何不等式定理:三角形内任一点到两顶点距离之和，小于另一顶点到这两顶点距离之和．怎么证明阿？

几何不等式定理:三角形内任一点到两顶点距离之和，小于另一顶点到这两顶点距离之和．怎么证明阿？  

几何不等式定理:三角形内任一点到两顶点距离之和，小于另一顶点到这两顶点距离之和．怎么证明阿？

设P是三角形ABC内任意一点，延长BP交AC于D.
三角形两边之和大于第三边，
在ABD中，AB+AD>BP+PD,
在DPC中，PD+DC>PC,
两式相加即得，AB+AC>PB+PC.

三角形内一点到顶点距离和小于周长

三角形内一点到顶点距离和小于周长,大于周长的一半.
证明:根据三角形两边之和大于第三边，
分别在PAB,PBC,PAC三个三角形中，
PA+PB>AB
PA+PC>AC
PB+PC>AC
合并上述三式，
2(PA+PB+PC)>AB+AC+BC
AB+BC+AC>PA+PB+PC>1/2(AB+AC+BC)

三角形内哪一点到三角形的个顶点距离之和最短

费马点是指在三角形所在的平面内,到三角形三个顶点的距离的和最小的点. (1).三内角皆小于120°的三角形ABC的费马点,分别以 AB,BC,CA,为边,向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连线AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点. (2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此角的顶点就是所求.

已知等边三角形边长为1，求证三角形内任意一点到三顶点距离之和小于2？

证明：设三角形内任意一点为P,
过P点作BC边的平行线EF，分别交AB、AC于E、F．
∵ΔABC为等边三角形，∴∠AFE＝∠ABC＝60°，又∵∠APE＞∠AFE，
∴∠APE＞60°．
在ΔAEP中，
∵∠APE＞∠AEP，∴AE＞AP．
∵ΔAEF为等边三角形，∴AE＝EF＝AF．
∵AE＞AP，BE＋EP＞BP，PF＋FC＞PC，
∴AE＋(EB＋EP)＋(PF＋FC)＞AP＋PB＋PC，
即AB＋EF＋FC＞PA＋PB＋PC，
∴PA＋PB＋PC＜AB＋AC＝2
∴三角形内任意一点到三顶点距离之和小于2

证明外心到三角形顶点距离之和最短

:baike.baidu./view/184329.htm

求证三角形内一点到各边距离和的两倍小于等于到各顶点距离和

在△ ABC中确定一点P，使P到三顶点的距离之和PA+PB+PC最小。
解法如下：分别以AB AC为边向外侧作正三角形ABD ACE 连结CD BE交于一点，则该点 即为所求P点。
证明：如下图所示。连结PA、PB、PC,在△ABE和△ACD中，AB=AD AE=AC ∠BAE=∠BAC+60° ∠DAC=∠BAC+60°=∠BAE ∴△ABE全等△ACD。
∴ ∠ABE=∠ADC 从而A、D、B、P四点共圆
∴∠APB=120° ， ∠APD=∠ABD=60°
同理：∠APC=∠BPC=120°
以P为圆心，PA为半径作圆交PD于F点，连结AF，
以A为轴心将△ABP顺时针旋转60°，已证∠APD=60°
∴△APF为正三角形。∴不难发现△ABP与△ADF重合。
∴BP=DF PA+PB+PC=PF+DF+PC=CD
另在△ABC中任取一异于P的点G ，同样连结GA、GB、GC、GD，以B为轴心
将△ABG逆时针旋转60°，记G点旋转到M点.。
则△ABG与△BDM重合，且M或 在 线 段DG上 或 在DG外。
GB+GA=GM+MD≥GDGA+GB+GC≥GD+GC>DC。
从而CD为最短的线段。
以上是简单的费马点问题，将此问题外推到四点，可验证四边形的对角线连线的交点即是所求点。到三顶点距离和最小的点,就是三角形其中1顶点
找出到3条边距离和最大的点,就是外接圆圆心,这个是极端情况,
前者大于等于后者2倍,证明这个成立.即证.

到三角形三顶点距离之和最小的点

答：
数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。它是这样确定的：
如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
证明可以参考：

求证任意三角形内任意一点到三个顶点的距离之和小于三边之和

题目：△ABC内任意取一点P，连线PA、PB、PC，求证：PA+PB+PC<AB+BC+CA。
证明：延长AP交BC于D，在△PBD和△ACD中，有PB<PD+DB，AD<CA+CD，所以
PA+PB<PA+PD+DB=AD+DB<CA+CD+DB=CA+BC
同理，得：
PB+PC<AB+CA
PC+PA<BC+AB
三式相加得：
2(PA+PB+PC)<2(AB+BC+CA)
所以：PA+PB+PC<AB+BC+CA；

等腰三角形底边上的高上任意一点到另外两顶点距离相等么

等腰三角形底边上的高上任意一点到另外两顶点距离～～～～～～相等

三角形内一点到三顶点的距离和小于该三角形的三边之和。请帮助证明

首先，设三角形里有一点O，延长AO、BO、CO，交各边于D,E,F。在三角形ABC中，AB+AD>BD=BO+OD CD+DO>OC 则AC+AB>BO+OC 同理：AC+BC>AO+OB AB+BC>AO+OC 所以条件成立！