爱因斯坦黑洞场方程 最美麗的理論：愛因斯坦引力場方程的推導

最美麗的理論：愛因斯坦引力場方程的推導  

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偉大的前蘇聯物理學家列夫·朗道和葉夫根尼·利夫希茨在他們的著作《經典場論》中寫道：「建立在相對論基礎上的引力場理論被稱為廣義相對論，它是由愛因斯坦建立的，並且可能是現存的物理理論中最美麗的一個。」
所有認真研究過廣義相對論的人都會覺得它具有一種獨特的吸引力。20世紀最具影響力的物理學家之一、英國理論物理學家保羅·狄拉克曾說過：
「很難將牛頓引力理論與其力的瞬時傳播相協調，使之符合狹義相對論的要求；然而，愛因斯坦卻解決了這一問題，相對論理論也由此誕生——這可能是有史以來最偉大的科學發現。」
本文中，筆者將結合昌德拉塞卡的文章（任何遺漏或不清楚的細節都可以在作品文章中找到），並試圖說明為何這些偉大科學家都做出了如此有力的陳述。
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鐘錶問題
仔細觀察下圖：
根據等效原理，時鐘A和時鐘B將根據時鐘C保持相同的相對時間。
當時鐘向上移動時，根據狹義相對論，時鐘A和時鐘B測量的時間間隔與真空中的時鐘C測量的相應間隔具有以下關係：
結合這兩個表達式，可以得到：
在以上方程中還使用到了托里拆利公式和引力勢的概念：
現在，如果把時鐘B放到沒有引力場的位置x上，那麼上面的表達式將變成：
公式1：兩次的時間間隔如何隨引力勢U（x）的變化而變化。
等效原理
在牛頓力學中，有兩種概念的質量，即慣性質量和引力質量。前者是一種測量外力阻力的方法（根據牛頓第二定律）。後者是引力場的來源，也是另一個大質量物體對引力場的反應。
根據牛頓萬有引力定律，此圖展示了相互吸引的兩個物體。
兩個質量分別為M與m的物體相距R，它們之間的引力可表示為：
根據牛頓第二定律，物體m（或M）的加速度為：
公式2：慣性質量和引力質量之所以會相等，是因為加速度的大小並不取決於物體的質量。因為加速度是不變的，所以質量比必須是常數。很明顯，此時該常數為1。
事實上，加速度a的大小無關於質量m，這也意味著上述的質量比是一個普適常數。由此推斷，慣性質量和引力質量的大小相等。
廣義相對論中的時空
在狹義相對論中，閔可夫斯基距離表現為以下形式：
公式3：狹義相對論中的閔可夫斯基距離。
其中dτ表示其本徵時間。沿世界線的本徵時間（物體在時空中的軌跡）是由沿著該線的時鐘測量出的時間。
對於給定的事件，該圖顯示了閔可夫斯基時空的四個不相交細分。
如上圖所示，時空中的世界線可以有以下三種：
· 光速曲線，每一點都表示光速。這樣的世界線在時空中形成了一個光錐。
· 時間曲線。這些速度小於光速的曲線落在光錐內（注意：大質量粒子的世界線都是時間型曲線）
· 空間曲線。例如，這些曲線表示物體的長度。
以上各種世界線皆對應一種dτ的符號。
本徵時間dτ的長短取決於時空的性質。在時空的某個區域，如果方程2有效，那麼就可以將其代入方程3，並得出：
公式4：由恆定引力場引起的閔可夫斯基時空間隔的變化。
現在，可以考慮進行坐標變換，將其放入一個勻加速的參考系中。新的x和t變成：
公式5：通過坐標變換將其放入一個勻加速的參考系。
y和z保持不變。閔可夫斯基區間方程3用該坐標表示如下：
公式6：勻加速的參考系中的閔可夫斯基距離。
現在，在變換方程5中選擇時間小於或等於c/g的次數，並進行簡單展開，即新的時空間隔方程3變成：
公式7：用非慣性坐標表示的平直閔可夫斯基時空中的時空間隔。
注意，它的形式與方程4相同。因此，根據等效原理，轉換成一個加速參考系相當於引入一個引力場。
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到目前為止，我們只考慮了閔可夫斯基度量下的小偏差。與愛因斯坦相同，我們也假設，一般來說（不僅是小偏差）引力場的存在扭曲了時空的幾何結構。更準確地說，愛因斯坦的引力理論認為，在引力場存在的情況下，時空會成為一個光滑的偽黎曼流形，並具有以下形式的時空間隔：
公式8：偽黎曼流形上的時空間隔。
在閔可夫斯基時空中，粒子以勻速直線運動：
公式10：在閔可夫斯基時空中，粒子以勻速直線運動。
在沒有重力的情況下，讓我們把下列變換成一個曲線坐標系：
公式11：在沒有重力的情況下轉換成曲線坐標。
時空間隔變為：
方程12：變換後的時空間隔方程11。
其中：
方程13：變換後的度量張量公式11。
在上圖的慣性參考系中，黑球以直線運動。然而，站在旋轉參照系（底部）中的觀察者（紅點）看到，由於該參照系中存在科里奧利力和離心力，該黑球沿著彎曲的路徑行進。
運動方程10成為普遍存在的測地線方程：
方程14：運動方程10經坐標變換後變為方程11，此時仍然沒有重力。
其中物體被稱為克氏符號。
方程15：在測地線方程中出現的克氏符號。
在方程14中，克氏符號產生一種「明顯的」加速度，這種加速度只是在用曲線坐標描述笛卡爾坐標系中的線性運動時產生的。但它們實際上是慣性加速度（例如科里奧利加速度）。
但是根據等價原理，所有的加速度，無論是慣性加速度還是重力加速度，都是度量：重力扭曲了時空幾何（這是一個具有相關度量的擬黎曼流形），並且粒子在時空中沿著方程16給出的測地線進行運動。
方程16：粒子在時空中運動所依據的測地線運動方程。
推導愛因斯坦引力定律
在牛頓物理學中，描述引力場的方程是用引力勢U來表示的。當沒有引力時，只有U=0；當有一個大質量物體，但受其場影響的被測粒子在物體外時，有?2U=0；在有物質的區域，方程變為?2U=4πGρ。
再試試如何把這三個方程應用於廣義相對論。
首先，假設有一個粒子根據方程16來進行運動。如果方程16通過坐標轉換可變為方程10，那麼這就意味著粒子不在引力場中。
同樣，在目前的重力下，克氏符號在任何坐標變換後都不能消失。利用克氏符號的變換規律就很容易證明，如果要通過一個普通的坐標變換來使得所有的克氏符號都消失，只有當方程17中的四個變換fs對於方程18有解。
方程17：應用於克氏符號的變換。
方程18：克氏符號消失的條件。
如果所謂的黎曼-克氏張量消失，就會發生這種情況。後者由以下給出：
方程19：黎曼曲率張量或黎曼-克氏張量。
我們得出結論，引力場不存在的條件是：
方程20：失重的條件。這個方程是U=0牛頓方程在相對論理論下的結果。
這個方程是牛頓方程U=0的廣義相對論版本。可見，?2U=0最簡單的概括是方程20的收縮，即：
方程21：里奇標量的消失是?2U=0牛頓方程在相對論下的結果。
這個消失的物體叫做里奇張量。最後一步是確定?2U=4πGρ右側的歸納。在此，首先想到的是能量動量張量。通過狹義相對論，我們可以知道它的導數消失了。但是廣義相對論是協變理論，所以標準導數的消失是不夠的：我們還需要T的協變導數消失，並且這在所有坐標系中都滿足。
但里奇張量的協變導數是非零的。通過引入一個相關且協變導數會消失的張量，即所謂的愛因斯坦張量，這一問題就會得以解決。
在廣義相對論中，物體之間的引力效應是時空扭曲的結果。
因此，愛因斯坦引力定律變成：
通過要求在c → ∞的區間內，可以獲得常數k，並且牛頓的理論也能得以應用。
最美麗的物理理論，你感受到它的魅力了嘛？
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