n阶方阵的值小于n 伴随矩阵 设A为n阶方阵，证明：秩r(A^n) = r(A^(n+1)) = … = r(A^m) = … 对任意的m>n成立。

设A为n阶方阵，证明：秩r(A^n) = r(A^(n+1)) = … = r(A^m) = … 对任意的m>n成立。  

设A为n阶方阵，证明：秩r(A^n) = r(A^(n+1)) = … = r(A^m) = … 对任意的m>n成立。

设A的若当标准型为J，有可逆矩阵P，使得A=P^(-1)JP
若A的特征值没有0，说明A是满秩的，则r(A^k)=n，对任意k都成立。
若A有为0的特征值，设其对应的若当块为J_1、J_2……J_k。
由于A^n=(P^(-1)JP)^n=P^(-1)(J^n)P，因此r(A^n)=r(J^n)。
而(J_i)^n=(J_i)^(n+1)=(J_i)^(n+2)=...=(J_i)^(m)=...=O，对i=1,2……k。
则r(J^n)=r(J^(n+1))=r(J^(n+2))=...=r(J^m)=...
对应的有r(A^n) = r(A^(n+1)) = … = r(A^m) = …
如果不熟悉若当标准型的话，可以证明A^nX=0与A^(n+1)X=0同解，这种方法可以见参考资料。

设矩阵Am*n的秩R(A)=m<n ，B为n阶方阵，R(B)=n, 则R(AB)=m？

正确
因为 B 可逆
所以 RA(B)=R(A)=m.

知识点: 若P,Q可逆, 则 R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A)

设A为n阶矩阵,证明r(A^n)=r(A^(n+1))

如果知道Jordan标准型的话就显然了。
如果不知道的话就证明A^{n+1}x=0和A^n x=0同解：
如果A非奇异则显然成立，否则利用
n-1 >= rank(A) >= rank(A^2) >= ... >= rank(A^n) >= rank(A^{n+1}) >=0
中间一定有两个相邻的项相等，即A^k x=0和A^{k+1}x=0同解，从而A^{n+1}x=0和A^n x=0同解。

设A为n阶方阵,且A*A=A,证明R(A)+R(A-E)=n.

因为A*A=A，所以A(A-E)=0;故A-E的每个列向量都是方程
Ax=0的解，由于A-E中的列向量未必构成解空间的基，所以R(A)+R(A-E)小于等于n；
又由R(A)+R(B)>=R(A+B)；立刻可得R(A)+R(A-E)=R(A)+R(E-A)>=R(A+E-A)=R(E)=n;所以R(A)+R(A-E)=n.

设A是m×n矩阵，R（A）=r，证明存在秩为r的m×n矩阵B与秩为r的r×n矩阵C，使A=BC

题目有点小错误，B的阶数是mxr，否则不能随便乘
取m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q使得A=PDQ，其中
D=
I_r 0
0 0
取B为P的前r列，C为Q的前r行即可。

设A是m*n矩阵，r(A)=r，证明：存在秩为n-r的n阶矩阵B，使AB=0

依题意
r(A)=r
r<=m,r<=n
于是AX=0必然有n-r个n阶不相关基础解系X1,X2,...Xn-r
由这n-r个n阶基础解系组成n阶矩阵B=(X1,X2,...Xn-r，0，0，0）
所以AB=0，r(B)=n-r
所以存在秩为n-r的n阶矩阵B，使AB=0
希望对楼主有所帮助
不理解可以加我QQ继续交流：281031614

设n阶方阵A有R(A)=r 证明存在n阶方阵B使R(B)=n-r且AB=BA=0

因为r（A）=r，所以存在可逆矩阵P、Q，使得PAQ=diag｛Er，0｝=C ，则A=P^（-1）CQ^（-1），令D=diag｛0，E（n-r）｝、令B=QDP，则AB=P^（-1）（CD）P=BA=Q（DC）Q^（-1）=0，且r（B）=r（D）=n-r

（线性代数）设A,B为n阶方阵,证明:r(AB)>=r(A)+r(B)-n

证明：
AB与n阶单位矩阵En构造分块矩阵
|AB O|
|O En|
A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵，有
|AB A|
|0 En|
右边两块矩阵分乘-B加到左边两块矩阵,有
|0 A |
|-B En|
所以,r(AB)+n=r(第一个矩阵)＝r(最后一个矩阵)>=r(A)+r(B)
即r(A)+r(B)-n<=r(AB)

设n阶矩阵a可逆,则对任意的n*m矩阵B,有R(AB)=R(B) 这个对不

对的
对的
定理：
两个矩阵乘积的不大于每一因子的秩，
特别当有一个因子是可逆矩阵时，乘积的秩=另一个因子的秩。

设A是m*n矩阵，B为n×s矩阵，r(A)=r＜n，且AB=0。证明：秩(B)≦n－r

证: 将B按列分块为 B=(b1,...,bs)
因为 AB=0
所以 A(b1,...,bs) = (Ab1,...,Abs)=0
所以 Abi=0, i=1,...,s
即 B 的列向量都是齐次线性方程组 AX=0 的解向量
所以B的列向量组可由 AX=0 的基础解系线性表示
而 AX=0 的基础解系含 n-r(A) = n-r 个向量
所以 r(B) <= n-r.