若函数fx在定义域内存在实数x0 已知a为实数 ,函数f(x)=x^2-2alnx ,若a＞0，试证明"方程f(x)=2ax有唯一解"的充要条件是"a=1/2"

已知a为实数 ,函数f(x)=x^2-2alnx ,若a＞0，试证明"方程f(x)=2ax有唯一解"的充要条件是"a=1/2"  

已知a为实数 ,函数f(x)=x^2-2alnx ,若a＞0，试证明"方程f(x)=2ax有唯一解"的充要条件是"a=1/2"

理论上讲是要求切线，也就是y=f(x)存在一点(t,2at)使得这点的切线的斜率就是2a，或者说g(x)=f(x)-2ax的最小值是0（g(0)>0, g(+oo)=+oo）。当然，既然涉及超越方程就不要硬来，用单调性解决。
首先看充分性，如果a=1/2，那么g(1)=g'(1)=0，所以确实是唯一解。
反过来，如果g(x)有唯一零点，用反证法，若a>1/2则g(1)<0，g至少有两个零点，矛盾；若a<1/2则g(x)>x^2-lnx-x>=0，即g没有零点，矛盾，所以a=1/2。

已知a为实数，函数f(x)=x^2-2alnx,若函数g(x)=f(x)-2ax有唯一零点，求正数a的值

令g(x)=x^2-2alnx-2ax=0
则x^2-2ax=2alnx
即求函数x^2-2ax和2alnx的交点只有唯一一个时正数a的值
作图可求出a=1/2，此时两个函数斜率相同，只有唯一交点
这种题目注意等价转化和数形结合，加油啦~(≧▽≦)/~

f（x)=x^2-2alnx,若关于x的方程f(x)=2ax有唯一解，求a的取值范围

即x^2-2alnx=2ax
1. 当a=0时，存在唯一解，x=0.
2. 否则，
对x^2-2alnx-2ax=0求导得
2x-2a/x-2a=0
即有x-a/x=a
对左侧代数式分类作图讨论：
1）当a<0时，图像始终在第一象限，不可能与y=a相交
2）当a>0时，图像在y轴左侧单调递增，与y=a交且仅交于一点
因此，a的取值范围是a>=0

设函数 f(x)=1/(x+2) + lg(1-x)/(1+x)证明方程f-1(x)=0有唯一解

证明:∵f(0)=,∴f-－1()=0,即x=是方程f-－1(x)=0的一个解.
若方程f-－1(x)=0还有另一个解x0≠,则f-－1(x0)=0,
由反函数的定义知f(0)=x0≠,与已知矛盾，故方程f-－1(x)=0有惟一解

若方程x^2-2alnx=2ax有唯一解，求a的值。怎么求？

解：
设f(x)=x^2-2alnx-2ax,x>0
f'(x)=2x-2a/x-2a=2(x^2-ax-a)/x
依题意f(x)=0时有唯一解
f'(x)>0,对x^2-ax-a=0求delta=a^2+4a≤0,-4≤a≤0即为所求

已知函数f(x)=log2(x^2+a),则f(x)的值域为实数集r的充要条件是

已知函数f(x)=log₂(x²+a),则f(x)的值域为实数集R的充要条件是？
解：u=x²+a是一条开口朝上的抛物线，其最小值为a；要使f(x)的值域为实数集R，
就必需使u的值域为(0，+∞）,即a≦0；也就是说，f(x)的值域为实数集R的充要条件
是a≦0。
比如,取a=-5，那么f(x)=log₂(x²-5）；其定义域为x²-5>0，即x<-√5或x>√5；
当x→±√5时x²-5→0；这时log₂(x²-5）→-∞;
当x→±∞时,x²-5→+∞；这时log₂(x²-5）→+∞;
即f(x)∊(-∞，+∞）。

已知a≥1/2,f(x)=-a^2x^2+ax+c.证明：对任意x属于【0，1】，f（x）≤1的充要条件是c≤3/4

证：从必要性，充分性两方面证明。
令g（x）=f（x）-1=-a²x²+ax+c-1 即要证g（x）≤0
对g（x）求导 得G（x）=-2a²x+a 令G（x）=0
因为x属于[0，1]，x=1/(2a) 在其区间内。当x<1/(2a)时G(x)>0,
当x>1/(2a)时G(x)<0
所以g（x）在[0，1]上是先增后减的。最大值在当x=1/(2a)处取得。
代入当x=1/(2a）。解g（x）≤0 得c≤3/4.
取c的最大值即 令c=3/4 对g（x）==-a²x²+ax-1/4求导。同上。求其在区间上的最大值。得其为0
故得证。

证明"0≤a≤1/6"是"函数f﹙x﹚=ax^2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上为减函数"的充分不必要条件

若满足函数f﹙x﹚=ax^2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上为减函数
1 a＜0
二次函数对称轴 x= -（a-1）/a ≥4
（a-1）/a≤-4（a≠0）
（5a-1）a≤0
0＜a≤1/5
2、 a=0
一次函数 f（x）=-2x+2 满足条件
故满足函数f﹙x﹚=ax^2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上为减函数的充要条件是0≤a≤1/5
故
0≤a≤1/6是 函数f﹙x﹚=ax^2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上为减函数"的充分不必要条件
如有不明白，可以追问。如有帮助，记得采纳，谢谢

函数f(x)=x^2+ax/(x+1)(x-1)^2为奇函数的充要条件是

a>0,x<1酱紫

f=x^2-2a㏑x若方程f=2ax有唯一解，求a的值

令g(x)=f(x)-2ax=x²-2a㏑x-2ax x>0
g'(x)=2x-2a/x-2a=(x²-ax-a)/(½x)
方程f=2ax有唯一解，即g(x)有唯一的零点：
①-4<a<0→a²+4a<0→g(x)无驻点
a≤-4,驻点x=[a±√(a²+4a)]/2<0,均不在函数的定义内
∴a<0时，g(x)为单调函数
∵lim(x→0+)g(x)=-∞
lim(x→+∞)g(x)=+∞
g(x)有唯一的零点
②a≥0,g(x)有驻点x₀=[a+√(a²+4a)]/2>0在定义域内，此时x₀²-ax₀-a=0
∵lim(x→0+)g(x)=+∞
lim(x→+∞)g(x)=+∞
显然，驻点为极小值点
∴只有极小值g(x₀)=0时，有唯一零点
g(x₀)=x₀²-2a㏑x₀-2ax₀=a-2a㏑x₀-ax₀=a(1-2lnx₀-x₀)=0
x₀=1→a=½
综上：a的取值范围a<0∪a=½