能够“证明”任意三角形都是等腰三角形吗

任何三角形都等腰？听到这样的结论，人们的第一反应是：这绝不可能。不相信吗？看看我们给出的“证明”。

如果三角形本来等腰，结论自然成立。下面给出非等腰三角形也等腰的“证明”。

证明过程是这样的。设三角形$ABC$是非等腰三角形。我们分别作出$∠A$的平分线与$BC$边的垂直平分线，则两者一定相交（若重合或平行，都会推出三角形等腰）。

设交点为$O$点，则两者或相交于三角形内部，如图1所示；或相交于三角形外部，如图2所示。

图1

图2

过点$O$分别作$AB$、$AC$的垂线$OE$与$OF$，交$AB$于点$E$，交$AC$于点$F$，两个直角三角形$AOE$与$AOF$有一公共边$AO$，又$∠EAO$=$∠FAO$，因此两三角形全等。由此推得$AE$=$AF$，并且$OE$=$OF$。

连接$OB$、$OC$，因为$OB$=$OC$（$O$为$BC$垂直平分线上的点），所以直角三角形$OBE$与直角三角形$OCF$全等，从而$BE$=$CF$。

于是，对图1情形有$AB=AE+BE=AF+CF=AC$。而对图2情形有：$AB=AE–BE=AF–CF=AC$。

无论哪种情况，我们都证明了非等腰三角形$ABC$等腰！

“证明”似乎无懈可击，结论却明显不成立。问题出在什么地方呢？“证明”过程中的漏洞点出来其实很简单：上面画的图形是不准确的。正确的图形如图3所示（设$AB$>$AC$）：

图3

这样，虽然如上面所证，仍能通过两个三角形全等推得$AE=AF$以及$BE=CF$。但$AB=AE+BE$，而$AC=AF–CF$，因此推不出$AB=AC$。

这一方面提醒我们，画图时应注意准确，否则会把自己引入歧途。另一方面告诉我们直观尽管有很大用处，但是由几何直观得到的结论并不一定可靠。