为什么不能一次走遍哥尼斯堡的7座桥

当你去参观、游览或者逛公园的时候，是否提醒过自己“不要走回头路”？在约300年前，同样的问题也发生在了欧洲一座叫哥尼斯堡的小城居民身上。

有一条河流穿过该城并分出两条支流，将城区分为四块，包括河中央的一座小岛。当时在陆地之间建有7座桥。闲暇时人们喜欢在城中散步，免不了要途经这7座桥。有些人就想，能不能设计出一条散步路线，可以不重复地通过这7座桥？

哥尼斯堡小城的7座桥

许多人尝试去找到这样一条路线，但都没有成功。于是人们想到满足上述要求的路线也许并不存在，但到底为什么，谁也说不清楚。这件事后来传到了大数学家欧拉那里，他马上意识到其中涉及的问题，应该属于德国哲学家、数学家莱布尼茨曾经提到过的“位置几何”。在这种几何中，数学家只关心图形各部分的相对位置，而不考虑它们的长短曲直。欧拉经过一番思考后，决定用大写字母表示陆地，小写字母表示桥，一次散步的路线就被表示成一个字母串（如图1）。大写字母分为两类，一类代表通奇数座桥的陆地，另一类代表通偶数座桥的陆地。通过分析相应字母在字母串中出现的次数，他给出了一个一般性解答：

（1）如果通奇数座桥的地方多于2个，那么满足要求的路线是找不到的；

（2）如果只有两个地方通奇数座桥，则可以从这两个地方之一出发，找到所要求的路线并到达另一个地方；

（3）如果所有的地方都通偶数座桥，那么无论从哪里出发，所要求的路线总能实现。

图1

由于在上述七桥问题中，有四个地方通奇数座桥，所以无法在一次散步中不重复地通过这7座桥。

图2

欧拉那时还没有将这一问题同“一笔画”相联系。直到19世纪90年代，人们才看出可以将七桥问题中的陆地抽象为点，将桥抽象为连接两点的线（如图2），从而这一问题就变成：能否一笔画出这样的图形？

如果把和奇数条线相连接的点称为奇点，把和偶数条线相连接的点称为偶点，那么上述欧拉的一般性解答经过新的解释后，很容易用来回答什么样的图形能“一笔画”：

（1）假如图形中奇点的个数多于2个，那么这个图形不能一笔画出；

（2）假如图形中奇点的个数只有2个，那么可以从其中一个奇点出发，一笔画出这个图形并到达另一个奇点；

（3）假如图形中的点都是偶点，那么无论从哪一点出发，都能一笔画出这个图形。

据此，下图都是可以一笔画出的，你不妨动手试着画一画。

可以一笔画出的图形