“和尚吃馒头问题”有什么别的解法

我国历史上著名的珠算大师、明朝数学家程大位写了一本影响很大的书——《算法统宗》。这本书后来一直流传到日本、朝鲜、东南亚一带。在书中可以看到他精心编写的许多歌谣体古算题，“和尚吃馒头问题”便是其中之一。这道题的原文是：

一百馒头一百僧，

大僧三个更无争，

小僧三人分一个，

大小和尚各几丁？

这是极其浅显易懂的七言诗，可以像“唱山歌”一样地背诵。如果译成白话文，它的意思就是：

现有100个和尚分100只馒头，刚巧全部分完。如果大和尚1人分得3只，小和尚3人分得1只，问：大和尚、小和尚各有多少人？

如果你读过《十万个为什么》数学第1册中《什么是“百鸡问题”》这篇文章，仔细比较一下，就可以知道“和尚吃馒头问题”与“百鸡问题”属同一类型，即都是一次不定方程求整数解的问题。

本题用代数中的列方程方法解，当然很容易求得答案。但是，我们也不妨广开思路，想想别的办法。

假定各人吃的馒头数都照题目所说的那样，一律乘以3，就是说，大和尚1人吃9只，小和尚1人吃1只，那么，100个和尚便要吃300只馒头。这时很容易看出，小和尚每人所吃的馒头数恰等于人数，面大和尚每人所吃的慢头数要比人数多8。现在，他们一共吃的馒头数要比人数多出200，而200是8的25倍，由此马上可推算出，大和尚有25人，小和尚有75人。这种解法叫做“扩大法”。

“扩大法”有种种变化方式，上文所说的是把馒头数扩大为3倍的办法。另外，也可以采用馒头数不动，而把人数扩大为3倍的解法，请你自己去试试看。

把着眼点变化一下，也可用“缩小法”来处理。譬如说，1个大和尚只吃1只半馒头，而3个小和尚合吃半只慢头，能不能解出来呢？也可以试试。

很明显，“缩小法”的基本想法是：和尚的人数虽不能是分数，但馒头却可以剖开来吃。从这一点来看，这种思路是很合理的。

话虽如此，可是程大位本人的解法却又不一样。《算法统宗》里的算法是：

100÷（3+1）=25，

100-25=75。

原来，程大位的思路是一种“编组法”。由于大和尚1人吃3只馒头，小和尚3人吃1只馒头，合并计算时，便是大小和尚4人吃4只馒头。于是，100个和尚正好编成25组，而每一组中恰好有1个大和尚，所以立即可以算出大和尚有25人。大和尚人数一经求出，小和尚人数自然不在话下了。

按照这种颇不寻常的“编组法”，还可以把题目进一步修改如下：

100个和尚吃100只馒头，如果1个大和尚吃n只馒头，n个小和尚合吃1只馒头。问：大、小和尚各有多少人？

读者应用上面所说的“编组法”，再注意到n+1必须是100的因子，那么一定可以找出n的可能答案是3，4，9，19，24，49，99。一共有7种可能答案，这不是挺有趣吗！