怎样移动“梵塔”上的金片

数学里有一些古老的名题，它们往往伴有神奇的传说，以独特的魅力吸引着人们，经久不衰。“梵塔”就是这类名题之一，它的历史恐怕至少也有1000年以上了吧！根据英国剑桥大学露斯鲍尔的说法，“梵塔”故事是这样的：

在世界中心的天竺国贝拿勒斯的神庙里，安放着1块黄铜板，板上插着3根宝石针，像韭菜叶那样粗细。梵天（婆罗门教、印度教主神之一，即创造之神）创造世界时，在其中的一根针上从下到上放了由大到小的64片金片。这些金片的中间有洞，可以很方便地套上取下，这便是所谓“梵塔”。不论白天黑夜，都有一个值班的僧侶，按照一定的法则，在长明灯前把这些金片在3根针上移来移去。法则规定：每次只能移动一片，并且无论在哪一根针上，只能是小的金片压在大的上面，绝对不准许颠倒过来，把大的压在小的之上。梵天预言说，当所有的64片金片都从创造世界时所放的那根针上转移到另一根针上去时，世界就将在一声霹雳中消灭，梵塔、神庙和一切众生都将同归于尽。

凡是第一次听到这个故事的人，总是很难相信，挪动64片金片竟需要那么漫长的时间。但是，数学家们早已算清了这笔帐：移动第1片只需1次，第2片就需要2次，此后按几何级数迅速递增。因此，达到上述目标所需要的移动总次数是：

2⁶⁴-1=18446744073709551615。

我们知道，一年大约有31558000秒。所以，即使僧侶们每1秒钟移动1次，昼夜不停，把这件事办完也约需5845亿年之久。但是，科学家们从能源的角度来推算，太阳系的未来寿命决计超不过150亿年，远远小于梵天的预言。

关于“梵塔”，还有一个需要讨论的问题，是怎样移动金片的问题。对于这一问题，传统上都是用的递归解法。“递归”这个名词比较难懂，它是教科书上的专用名词。如果用通俗的话来解释，就是“较小规模地按照老样子重复”的意思。这样说虽然不十分确切，大体上也是八九不离十了。

例如，假定金片只有4片，那么从A针移到C针应该怎么搬法？

如果用记号①B表示将第1片金片移到S这根针上，其余依此类推，那么我们可以这样搬：

①B，②C，①C，③B，①A，②B，①B，④C，①C，②A，①A，③C，①B，②C，①C。

—共需搬2⁴-1=15次，才能完成。事实上，第5步到第7步，就是第1步到第3步的重复；第9步到第15步，就是第1步到第7步的重复，以后的情况都是这样。

递归解法的原理是相当简单的，但实际执行起来却并不简单，因为随着片数的增多，分支过程势将大增特增，用不了多久，就会脑子发胀，弄糊涂了。

专家们为此而编制了一个程序，让计算机来做，取得了成功。不过，存储的信息量必须很大，用一般微机是无法胜任的，即使能做，速度也很慢。

然而不久以前，这个问题却有了重大突破。原来，有两位美国学者竟发现了一种出人意外的、简单得几乎令人不敢相信的办法，只要轮流地进行下面两步操作就行了：

（1）按照一定的方向（顺时针或逆时针都行，但一经确定，就必须贯彻到底，不准再中途变卦），把第1片金片从现在的这根宝石针移到下面一根宝石针；

（2）移动另一片可以移动的金片到新的位置上去。这第二步似乎规定得太“活”了，你大概肯定要问究竟移动哪一片金片，并把它移到哪里去呢？这在规则中都没有作出交代，然而，却用不着再作什么交代，这恰恰是新方法的精华所在。原来，在这时候，可以搬动的金片与它允许搬往的地方，都只有唯一的一种，没有任意选择的余地。

你们读到这里，大概十之八九不会相信，哪有此事！这也不足为奇，因为甚至发现者本人在归纳、研究出这两条规律时也曾“吃惊得目瞪口呆”。

让我们来做一个模拟实验，具体试验一下吧。请你拿出三本书（譬如说最普通的算术、语文、英语课本）当作三根宝石针，排成品字形，成三足鼎立之势。这样做容易按照顺时针或反时针方向进行搬动。再拿出一副扑克牌，从中挑出A（当作1点）、2、3、4、5共五张牌当作金片。让我们把移动情况记录下来。开始时，五张牌全部放在A这本书上面，并按照上小下大的顺序放好。我们仍用记号①B表示把2这张牌放到5这本书上，其他可依此类推。

搬动过程如下：

①B，②C，①C，③B，①A，②B，①B，④C，

①C，②A，①A，③C，①B，②C，①C，⑤B，

①A，②B，①B，③A，①C，②A，①A，④B，

①B，②C，①C，③B，①A，②B，①B。

这样，经过2⁵-1=31步后，就把五叶金片放到另一根针上去了，与理论推算所需要的步子数完全符合，一步都不差。

最近，国外有位计算机专家特意做了一个在教育学、心理学、数学等各方面都颇有意思的实验。他用木头制造了这种“梵塔”，只有8叶金片，请他的一位同事来玩。没有多久，这位朋友就一筹莫展，玩不下去了，跑到外面去休息。这时，专家向他的8岁女儿解释了玩法的规则。当朋友再次进来时，看到这位小姑娘正像古代的印度僧侶们一样，熟练地搬动着金片。他惊奇得几乎不相信自己的眼睛了！只见几分钟之内，她就走完了2⁸-1=255步，完成了任务。

其后，这位专家又对别的儿童实验过多次。事实表明，百分之九十以上的小朋友都能顺利攻克这道“千年名题”。看来，“梵塔”还可作为很好的一种智力玩具哩！（谈祥柏）