怎样应用数学方法进行预测

在现代生活中，作计划、办事情，往往离不开预测。工厂要通过预测产品的市场需求状况和原料供应状况才能安排生产；农民种田要预测天气和病虫害等情况，才能确定种植计划，争取丰收。总之，正确的决策，离不开正确的预测。

预测免不了出现偏差。偏差一般有两种：一种是或然性偏差，它是由种种偶然因素造成的，处理这种偏差通常采用数理统计的方法；另一种是系统性偏差，这种偏差有的是由于预测者的种种局限所造成，有的则是由于未来出现了预测者意料不到的情况。这种系统偏差有的可以避免，有的就难以避免。因此，预测者应该对预测结果作实事求是的估计。

目前，预测的方法多达几百种，常用的也有几十种。这里，我们通过一个例子来介绍其中的一个常用方法——最小二乘法。

设某县在建筑行业方面最近几年的就业人数如下表所示：

试问：1989、1990、1991三年该县建筑业就业人数的情况如何？

首先建立坐标系：以横坐标表示年度为简便起见，将1981，…，1988分别用1，…，8来表示）；以纵坐标表示就业人数y（单位：千人）。然后，把表上数据在坐标系上用点来标出。

如果我们能画出一条曲线（包括直线），使坐标系上已有的点尽可能地在这条曲线上，并且以后年份所标出的点也会落在这条曲线上，那么这条曲线就会起到预报情况的作用。

如何画出这条曲线呢？最好的办法是求出它的方程。在上面的例子中，我们所看到的点列似乎排成了一条直线，所以可以考虑选用直线来作为所要求的曲线。于是问题就在于求出这条直线的方程。

设有n个观察点（t₁，Y₁），（t₂，Y₂），…，（t_n，Y_n），所求的直线方程是y=a+bt，我们希望当t=t_i时，y_i=a+bt_i与Y_i尽可能接近，即y_i与Y_i的离差（差的绝对值）e_i=｜y_i-Y_i｜尽可能地小。这只要使离差的总和$\sum {{e_i}} = {e_1} + {e_2} + \cdots + {e_n}$达到最小即可。但带绝对值的式子在数学上不好处理，因此改为要求离差的平方之和达到最小。就是说，使

$\eqalign{ & Q = e_1^2 + \cdots + e_n^2 \cr & = {\left( {{Y_1} - \left( {a + b{t_1}} \right)} \right)^2} + \cdots + {\left( {{Y_n} - \left( {a + b{t_n}} \right)} \right)^2} \cr} $

达到最小。

根据微积分学知道，要使Q达到最小，a和b应该满足如下两个方程：

其中，

$\sum {{t_i}} = {t_1} + \cdots + {t_n}\sum {{Y_i}} = {Y_1} + \cdots + {Y_n}$，

$\sum {t_i^2} = t_1^2 + \cdots + t_n^2\sum {{t_i}{Y_i}} = {t_1}{Y_1} + \cdots + {t_n}{Y_n}$。

在上述例子中，

$n = 8\sum {{t_i}} = {t_1} + \cdots + {t_8} = 1 + 2 + \cdots + 8 = 36$，

$\sum {{Y_i}} = 214 + 223 + \cdots + 276 = 1944$，

$\sum {t_i^2} = {1^2} + {2^2} + \cdots + {8^2} = 204$，

$\sum {{t_i}{Y_i}} = 1 \times 214 + 2 \times 223 + \cdots + 8 \times 276 = 9114$。

代入方程组（1）中，得

解此方程组，得

a=203.7865，6=8.7143，

因此，最佳的拟合直线方程是

y=203.8+8.7t。（2）

这里a，b的值按四舍五入法作了近似处理。

用t=9，10，11分别代入方程（2），就得到如下的预测结果：

需要注意的是，这里的预测结果仅仅是根据历史资料用最小二乘法得到的，它没有考虑影响就业人数的诸因素在未来的几年中将会有何种变化。因此，只有在影响就业人数的重要因素不发生突变的条件下，这种预测结果才是合理的。