什么叫“3x+1问题”

请你随意说出一个自然数，这个自然数不妨记为x。利用x，我们可以构造一个新的自然数y，方法如下：

也就是说，如果a；是奇数，将它乘以3加1，得到一个新的数e如果a；是偶数，将它除以2，也得到一个新的数。

在数学上，这样从任意一个自然数出发，按照确定的规则得到另一个自然数（它与原先的自然数可以相同，也可以不同），称为对自然数施行了一个变换。例如，根据变换规则（1），18变成9，9变成28，等等。问题在于，从某一个自然数出发，不断地这样变换下去，会出现什么样的结果呢？这是一个有趣的问题，也是一个非常吸引人的数学游戏。用一个顶点表示自然数x，另一个顶点表示自然数y，再用一条有方向的边将它们连接起来。箭头指向y，箭尾在x，表示y是根据变换规则（1），由x变来的（图1）。

图1

例如，从自然数18开始，采用这种图示方法，连续进行变换的结果如图2所示。从图中可以看出，最后出现了循环：

图2

4→2→1→4→2→1→…。

换一个偶数12试试看。根据变换规则（1），连续施行变换的结果如图3。最后又出现了循环：

图3

4→2→1→4→…。

会不会出现其他结果呢？大家一定很关心。

再用奇数21来试一试。结果如图4。最后还是出现了同样的循环：

图4

4→2→1→4→…。

起初，这纯粹是个数学游戏，在美国某些地方流行。后来传到欧洲，又由日本人角谷传到洲。现在，它已在世界各国广泛流传。

对于这个数字游戏，人们总是希望出现一些别的结果，或者说，最后会出现一些异样的情况，只要与上面的循环不同就行，甚至动用了电子计算机帮忙。可是都失望了，试遍了从1到7×10¹¹所有自然数，结果都一样：最后会出现4→2→1→4→…这样的循环。也有许多人想证明这个结论。但在研究中发觉，要诬明每个自然数，根据变换规则（1），连续施行变换，最后都会出现循环4→2→1→4→…是很困难的。这个问题人称“3x+1问题”，也称为“科拉兹问题”、“叙拉古问题”或“角谷问题”。

图5

3x+1问题仅限于自然数，不能将自然数的范围放宽到整数。例如，根据变换规则（1），零永远变成零；-2变成-1，再变成-2这样循环着；对-5连续施行变换的结果如图5，没有出现3x+1问题那样的结果。