为什么说$0.\dot 9$=1

“$0.\dot 9$真的等于1吗？”对此，有不少少年朋友存在着疑问。因为他们觉得，$0.\dot 9$即0.999…这个数，不论小数点后面的9的个数怎样增多，它始终只能越来越接近于1，而不等于1。

少年朋友有这样的想法是很自然的，因为他们还不知道$0.\dot 9$等于1这个结论是怎样得出的。下面就让我们来讨论一下这个问题。

大家比较熟悉

$\frac{1}{3}{\text{ = 0}}{\text{.333}} \ldots $。①

这里，“等式”的左端是明确的，是$\frac{1}{3}$；“等式”的右端则是一个以3为循环节的循环小数，是一个可无限延伸的十进小数，具有形式

0+$\frac{3}{10}$+$\frac{3}{{{{10}^2}}}$+$\frac{3}{{{{10}^3}}}$+…$\frac{3}{{{{10}^n}}}$+…。

所以，①式也可以写成

$\frac{1}{3}{\text{ = }}0 + \frac{3}{{10}} + \frac{3}{{{{10}^2}}} + \frac{3}{{{{10}^3}}} + \ldots \frac{3}{{{{10}^n}}} + \ldots $②

其中，右端是一个由数列0，$\frac{3}{{10}}$，$\frac{3}{{{{10}^2}}}$，…，$\frac{3}{{{{10}^n}}}$，…构成的无穷级数，而

$0 + \frac{3}{{10}} + \frac{3}{{{{10}^2}}} + \frac{3}{{{{10}^3}}} + \ldots \frac{3}{{{{10}^n}}}$，③

即②中不带省略记号“+…”的那部分，称为无穷级数②的n项之和，它是个有限和。

从形式上看，“等式”②的右端是由“+”号连接而成的，但是请注意，它并不意味着把无限多项实在地，一项一项地加起来（这是无法做到的），它只是这样一个事实的简写形式：这个事实指出，当n趋向无限大时，$\frac{1}{3}$是有限和③的极限。或者说，当n趋向无限大时，和③趋近极限$\frac{1}{3}$。

为了帮助大家理解，不妨再举一个更直观些的例子。将单位线段（长度为1的线段）等分为二，后一半再等分为二，再将后一半又等分为二，如此继续下去，直到得到长度为$\frac{1}{{{2^n}}}$的更小的线段。

这里n可为任意地大，例如n=1000，n=1000000，或者随心所欲地确定任一个数。将等分后的所有线段加起来，其全长是

${S_n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{{16}} + \ldots + \frac{1}{{{2^n}}} + \ldots $，④

它与原单位线段的长度1相差仅$\frac{1}{{{2^n}}}$。容易看出，这个差异当n无限地增大时将变得任意地小。这就是说，当n趋向无限大时，和S_n趋近于1，或者说S_n以1为其极限，记作

${\text{1 = }}\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + \frac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \frac{1}{{{2^n}}} + \ldots $⑤

这是一个以$\frac{1}{2}$为公比（记作q）的无穷等比级数，对于丨q丨＜1的一般无穷等比级数，利用极限方法可得求和公式

$q + {q^2} + \cdots + {q^{\text{n}}} + \cdots {\text{ = }}\frac{q}{{1 - q}}$⑥

利用这个公式，可以很快得出

$\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + \ldots + \frac{1}{{{2^n}}} + \ldots = \frac{{\frac{1}{2}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 1$，

与⑤一致。

同样，我们也可用这个公式得出

$\eqalign{& 0.\dot 9{\text{ = }}0.999 \ldots {\text{ = }}\frac{9}{{10}} + \frac{9}{{{{10}^2}}} + \frac{9}{{{{10}^3}}} + \ldots \cr & {\text{ = }}\frac{9}{{10}} \cdot \frac{1}{{1 - \frac{1}{{10}}}}{\text{ = }}1 \cr} $。

利用⑥还可以证明所有的循环小数都可以表示成整数或分数，其表示方法是

$\eqalign{& {a_0} \cdot {a_1}{a_2} \ldots {a_m}{{\dot b}_1}{b_2} \ldots {{\dot b}_n} \cr & = {a_0} \cdot {a_1}{a_2} \ldots {a_m} + \frac{{10_{}^{ - m} \times 0.{b_1}{b_2} \ldots {b_n}}}{{1 - 10_{}^{ - n}}} \cr} $。

例如，循环小数

$\eqalign{ & 4.2\dot 1\dot 3 = 4.2 + \frac{{10_{}^{ - 1} \times 0.13}}{{1 - 10_{}^{ - 2}}} = 4.2 + \frac{{0.013}}{{1 - 0.01}} \cr & = 4 + \frac{2}{{10}} + \frac{{13}}{{990}} = 4\frac{{221}}{{990}} \cr} $。

又如，循环小数

$0.\dot 31\dot 5 = 0 + \frac{{0.315}}{{1 - 10_{}^{ - 3}}} = \frac{{315}}{{999}} = \frac{{15}}{{111}} = \frac{5}{{37}}$。

同样，循环小数

$0.\dot 9 = 0 + \frac{{0.9}}{{1 - 10_{}^{ - 1}}} = \frac{{0.9}}{{0.9}} = 1$。