怎样确定转速比等于π时的齿轮的牙数

在《什么是分数的加成》一文中已经提到，可以用牙数分别为113和355两个齿轮啮合，使两个齿轮的转速比近似等于π。但是在实际工作中，113牙，特别是355牙的牙数还是太大了些。为了选用牙数少一点的齿轮来实现转速比是π的要求，人们常采用复式齿轮系统。

上图就是一组复式齿轮系统。它由四个齿轮组成：齿轮1与齿轮2啮合，齿轮2与齿轮3同轴，齿轮3与齿轮4啮合。设它们的牙数分别为Z₁、Z₂、Z₃、Z₄，转速分别为n₁、n₂、n₃、n₄。于是有

$\frac{{{n_{^2}}}}{{{n_1}}} = \frac{{{Z_1}}}{{{Z_2}}}$，

n₂=n₃，

$\frac{{{n_{^4}}}}{{{n_1}}} = \frac{{{Z_3}}}{{{Z_4}}}$

所以$\frac{{{n_{^4}}}}{{{n_1}}} = \frac{{{n_{^4}}}}{{{n_3}}} \cdot \frac{{{n_{^2}}}}{{{n_1}}}{\text{ = }}\frac{{{Z_3} \cdot {Z_1}}}{{{Z_4} \cdot {Z_2}}}$

就是说，复式齿轮系统的转速比$\frac{{{n_{^4}}}}{{{n_1}}}$等于 $\frac{{{Z_3} \cdot {Z_1}}}{{{Z_4} \cdot {Z_2}}}$

现在我们希望用一组复式齿轮系统使它的转速比近似等于π，那就是要找Z₁，Z₂，Z₃，Z₄四个整数，使$\frac{{{Z_3} \cdot {Z_1}}}{{{Z_4} \cdot {Z_2}}}$近似等于π。这四个数可以从机械手册上查得，例如

$\frac{{32 \times 27}}{{25 \times 11}}{\text{ = }}\frac{{864}}{{275}}$，误差0.007％；

$\frac{{7 \times 35}}{{6 \times 13}}{\text{ = }}\frac{{245}}{{78}}$，误差-0.017％；

$\frac{{19 \times 125}}{{6 \times 126}}{\text{ = }}\frac{{2375}}{{756}}$，误差-0.002％；

$\frac{{5 \times 71}}{{113}}{\text{ = }}\frac{{355}}{{113}}$，误差0.00006％；

$\frac{{13 \times 29}}{{4 \times 30}}{\text{ = }}\frac{{377}}{{120}}$，误差0.002％；

$\frac{{8 \times 97}}{{13 \times 19}}{\text{ = }}\frac{{776}}{{247}}$，误差0.003％；

$\frac{{25 \times 47}}{{22 \times 17}}{\text{ = }}\frac{{1157}}{{347}}$，误差0.004％。

上面的数据可以作适当的变动，譬如$\frac{{5 \times 71}}{{113}}$，事实上不可能有5牙的齿轮，所以，这个值可转化成$\frac{{100 \times 71}}{{113 \times 20}}$。

有时，还希望牙数控制在100以内。1973年，华罗庚到洛阳去推广数学方法。当时，洛阳拖拉机厂的一位工人正在寻求四个介于20和100之间的整数Z₁，Z₂，Z₃，Z₄，使$\frac{{{Z_1} \cdot {Z_3}}}{{{Z_2} \cdot {Z_4}}}$近似等于π，并且精确度较高。这位师傅在一本简易的机械手册上查出了我们上面所列的第五个数据

$\frac{{52 \times 29}}{{20 \times 24}}{\text{ = }}\frac{{377}}{{120}}$；

而他自己找到了

$\frac{{68 \times 62}}{{22 \times 61}}{\text{ = }}\frac{{2108}}{{671}}$，误差-0.00041％，

比手册上的更好。这位师傅问华罗庚，还有比这个数据更好的吗？

华罗庚很忙，时间又短，所以没有去思考这个问题。直到上火车时，华罗庚把自己的想法写在一张小纸条上，交给自己的助手。助手看了看纸条，纸条上只写着一个式子：

$\frac{{377}}{{120}}{\text{ = }}\frac{{22 + 355}}{{7 + 113}}$。

助手马上意识到，导师叫他用加成法试一试。强将手下无弱兵，不多时，助手就找了两个更好的数据：

$\frac{{19 \times 355 + 3 \times 333}}{{19 \times 113 + 3 \times 106}}{\text{ = }}\frac{{7744}}{{2465}}{\text{ = }}\frac{{88 \times 88}}{{85 \times 29}}$，误差-0.00033％；

$\frac{{11 \times 355 + 22}}{{11 \times 113 + 7}}{\text{ = }}\frac{{3927}}{{1250}}{\text{ = }}\frac{{51 \times 77}}{{50 \times 25}}$，误差0.00023％。