怎样在算盘上做开平方运算

尽管电子计算器已有广泛的应用，但是算盘仍然受到人们的重视。特别是加减运算，珠算能手的计算速度并不低于电子计算器。算盘除了可作加减运算外，还可用来做乘除运算。那么，在算盘上可不可以做开平方运算呢？

人们早就发现

1+3=4=2²；

1+3+5=9=3²；

1+3+5+7=16=4²；

……

1+3+5+…+（2n-1）=n²。

这也就是说，从1开始的n个奇数的和恰巧等于n²。这个性质可以用多种方法加以证明，我们在这里只用图形说明一下。这是一个颇为有趣的说明。

用一颗白的围棋子，在其右方、上方及右上方布上3颗黑子，构成了一个2×2的正方形。在此基础上，再在右方、上方及右上方布上5颗白子，又构成了一个3×3的正方形。……从图可以看出，

1+3=2²；

1+3+5=3²；

……

它说明上面所讲的性质是正确的。

   1

1+3=2²

1+3+5=3²

1+3+5+7=4²

利用这个性质，就可以在算盘上做开平方运算。例如求$\sqrt {144} $，我们可以从144中依次减去1，3，5，7，…。因为

$144 - \underbrace {1 - 3 - 5 - 7 - \ldots - 23}_{12个}{\text{ = }}0$，

所以

$144{\text{ = }}\underbrace {1 + 3 + 5 + 7 + \ldots + 23}_{12个}{\text{ = 1}}{{\text{2}}^{\text{2}}}$，

于是

$\sqrt {144} {\text{ = }}12$。

可以看出，这个方法将开平方问题转化为做减法，而做减法在算盘上是较容易实施的。但是，在做减法的时候，人们往往只注意被减数和减数的大小，而不注意减了几次，而这里恰恰需要统计实施减法的次数n。譬如，刚才我们从减1开始，减3，减5，…最后减去23，得0，一共减了几次呢？这个次数可以这样算出：因为第n个奇数是2n-l，所以

2n-1=23，

n=（23+1）÷2=12。

同理，如果最后一个减数是35，那么共减了

（35+1）÷2=18（次）。

这样，在算盘上开平方问题在理论上加以解决了。但是，当被开方数较大时，从1开始，逐次减去3，5，…手续似乎过于繁复。这时，我们还可以利用一些技巧，使手续简单些。

例如，求$\sqrt {529} $，我们可以这样做：

将529从个位开始向左分段，每两位为一段，也就是将529看作5＇29。不难看出，它的平方根是一个二位数，并且十位数字是2。这是因为

400＜529＜900，20＜$\sqrt {529} $＜30。

接着，我们可在算盘上一下子减去400。因为

$\underbrace {1 + 3 + 5 + \ldots + 39}_{20个}{\text{ = 400 = 2}}{{\text{0}}^{\text{2}}}$，

所以，一下子减去400，相当于

$529 - \underbrace {1 - 3 - 5 - \ldots - 39}_{20个}{\text{ = }}129$。

继续减下去，注意应从减41开始，得

$129 - \underbrace {41 - 43 - 45}_{3个}{\text{ = 0}}$。

可见

$529 - \underbrace {1 - 3 - \ldots - 45}_{23个}{\text{ = }}0$

所以

$529{\text{ = }}\underbrace {1 + 3 + \ldots {\text{ + }}45}_{23个}{\text{ = 2}}{{\text{3}}^{\text{2}}}$，

即$\sqrt {529} {\text{ = }}23$。

这里，一下子减去了一个数（400）之后，要确定接下去一个减数（41）是关键的问题。这个问题也不难解决。因为

400=20²

所以，我们减去400，相当于一下子减去了从1开始的20个奇数。可见，接下去要减的一个数，应是从1开始的第21个奇数，就是

2×21-1=41。

这样一来，在算盘上开平方问题就简捷得多了。

顺便说一句，在电子计算机诞生之前，有过一种机械的计算机，有的是手摇式的，有的是电动的。在这种计算机上作开平方运算，也是采用这个原理。