已知函数f(x)=e^x 已知函式f( x)=1/x+2/(1-2x) (0=8

已知函式f( x)=1/x+2/(1-2x) (0=8  

已知函式f( x)=1/x+2/(1-2x) (0<x<1/2) 求证；f(x)>=8

证明：
f( x)=1/x+2/(1-2x)
=[(1-2x)+2x]/x(1-2x)
=1/[x(1-2x)]
=1/(x-2x²)
=1/[-2(x-1/4)²+1/8]
由于当0<x<1/2时，-2(x-1/4)²+1/8≤1/8，
所以f（x）=1/[-2(x-1/4)²+1/8]≥8.

已知函式f(x)=1/x+2/(1-2x), 其中(0<x<1/2)求证f(x)>等于8

f(x)=(1/x)＋2/(1－2x)
=[(1－2x)＋(2x)]/[x(1－2x)]
=1/[－2x²＋1]
研究下M=－2x²＋1=－2[x－(1/4)]²＋(1/8)
则M的最大值是1/8，则f(x)的最小值是8
所以，f(x)≥8

已知函式f(x)=(1/(2x-1)+1/2)x3.求证：f(x)>0

解：f(-x)
=-x^3*((1/2^(-x)-1)+1/2)
=-x^3*[(2^x/(1-2^x)+1/2*(1-2^x)/1-2^x]=x^3*(2+2^x-1)/(2^x-1)*1/2
=x^3*((1/(2^x-1)+1/2)
=f(x)
即f(x)为偶函式
因为f(x)定义域为x不等于0，x属于R
当x>0时，恒有f（x）>0，
因为其为偶函式，当x<0时，有f（x）=f(-x)>0

已知函式f(x)=(1/2)^x (x>=2) f(x+1) x<2 求f(-3)

分段函式
-3<2,满足第二个解析式
f(-3)=f(-3+1)=f(-2)
-2<2
f(-2)=f(-1)
-1<2
f(-1)=f(0)
0<2
f(0)=f(1)
1<2
f(1)=f(2)
x=2,满足第一个解析式
f(2)=(1/2)^2=1/4
∴f(-3)=1/4
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已知函式f(x)=(1/2)x^2+Inx求证当x>1时,1/2x^2+Inx<2/3x^3

设g（x）=f(x)-2/3 x³=1/2 x²+lnx-2/3 x³
即证明当x＞1时，g（x）＞0
g(x)′=x+1/x -2x²
=(x²+1-2x³)/x
=(x²-2x+1+2x-2x³)/x
=[(x-1)²-2x(x+1)(x-1)]/x
=-(2x²+x+1)(x-1)/x
显然当x≥1时，g(x)′＞0，g(x)递增
所以当x＞1时,g(x)＞g(1)=1+1-2=0

已知0<x<1/2,求f(x)=(1+x)^2/x(1-2x)的最小值

不知道你现在学的是那部分数学，我就用一看就能懂的不等式解给你看吧。
(1+x)^2=(1-2x+3x)^2>=4(1-2x)3x=12x(1-2x) 注解:(a+b)^2>=4ab a=b等号立。
f(x)=(1+x)^2/x(1-2x)>=[12x(1-2x)]/[x(1-2x)]=12
当1-2x=3x 即x=1/5 时等号成立
即最小值为f(1/5)=12

已知函式f(x)={2-(1/3)^x,x<=0 1/2乘x^2-x+1,x>0 求单调区间

x≤0时，f(x)=2-(1/3)^x
(1/3)^x是减函式，-（1/3)^x是增函式
∴f(x)是增函式
x>0时，f(x)=1/2x²-x+1=1/2(x-1)²+1/2
递减区间为(0,1],递增区间为[1,+∞)
∴f(x)递增区间为(-∞,0],[1,+∞)
递减区间为(0,1]

已知函式f x＝LN（1＋X）－AX求证(1/2)(1/2^2).(1/2^N)<e

<==>ln[(1/2)(1/2^2)...(1/2^N)] < lne
<==>ln(1/2)+ ln(1/2^2)...+ ln(1/2^N) < 1
对于f x＝LN（1＋X）－AX
f'(x) = 1/(1+x) - A,当x < 0,A <= 1时，有f'(x) > 0
==>A <= 1,x < 0时，f(x)为增函式，
==>此时，f(x) < f(0) = 0,即，ln(1 + x) < Ax(x < 0,A < 1)
==>ln(1/2^i) = ln(1 - (2^i - 1)/2^i) < -A (2^i - 1)/2^i < 1/2^i
==>ln(1/2)+ ln(1/2^2)...+ ln(1/2^N) < 1/2 + ...+1/2^N < 1,证毕
/*******/
此题考查的应该是求导的知识，但是这个问题好像有问题
(1/2)(1/2^2)...(1/2^N) < 1*1*1...*1<1<e
所以题目可能应该是(1/2)(1/2^2)...(1/2^N)<1/e,于是
<==>ln(1/2)+ ln(1/2^2)...+ ln(1/2^N) < -1，
==>ln(1/2^i) = ln(1 - (2^i - 1)/2^i) < -A (2^i - 1)/2^i < -1/2^i
==>ln(1/2)+ ln(1/2^2)...+ ln(1/2^N) < -1/2 + ...+（-1/2^N） < -1,证毕

已知函式f(x)=1/2x∧2-alnx,求函式f(x)的单调区间,求证当x>1时,1/2x∧2+lnx<2/3x∧3

第一个问题：
∵f（x）＝（1/2）x^2－alnx，　∴f′（x）＝x－a/x＝（x^2－a）/x。
令f′（x）＝（x^2－a）/x＞0，得：x^2－a＞0、x＞0；或x^2－a＜0、x＜0。
∴x^2＞a、x＞0；或x^2＜a、x＜0。
考虑到函式的定义域，需要x＞0。　∴只有：x^2＞a、x＞0。
考查x^2＞a、x＞0，当a≦0时，x＞0。　当a＞0时，x＞√a。
∴当a≦0时，函式的增区间是（0，＋∞）、没有减区间。
　当a＞0时，函式的增区间是（√a，＋∞）、函式的减区间是（0，√a）。
第二个问题：
令F（x）＝（1/2）x^2＋lnx－（2/3）x^3。
求导数，得：F′（x）＝x＋1/x－2x^2、　F″（x）＝1－1/x^2－4x。
显然，当x＞1时，F″（x）＝1－1/x^2－4x＜0，
∴当x＞1时，F′（x）＝x＋1/x－2x^2 是减函式，而F′（1）＝1＋1－2＝0，
∴当x＞1时，F′（x）＜0，　∴当x＞1时，F（x）＝（1/2）x^2＋lnx－（2/3）x^3 是减函式，
又F（1）＝1/2＋0－（2/3）＝3/6－4/6＝－1/6＜0，
∴当x＞1时，F（x）＝（1/2）x^2＋lnx－（2/3）x^3 ＜0，
∴（1/2）x^2＋lnx＜（2/3）x^3 。