凸集与凸包 凸集详细资料大全

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在凸几何中，凸集(convex set)是在凸组合下闭合的仿射空间的子集。更具体地说，在欧氏空间中，凸集是对于集合内的每一对点，连线该对点的直线段上的每个点也在该集合内。例如，立方体是凸集，但是任何中空的或具有凹痕的例如月牙形都不是凸集。

特别的，凸集，实数R上（或复数C上）的向量空间中，如果集合S中任两点的连线上的点都在S内，则称集合S为凸集。

基本介绍

中文名：凸集外文名：Convex Set学科：数学属性：闭合的仿射空间的子集性质：封闭性相关名词：凹集 介绍,在向量空间,凸集,非凸集,属性,交叉和联合,封闭凸集,总和,

介绍

凸集的边界总是凸曲线。 包含欧几里得空间的给定子集A的所有凸集的交集称为A的凸包。它是包含A的最小凸集。凸函式是在具有其epigraph（函式图上或上方的点集合）为凸集的属性的间隔上定义的实值函式。 凸最小化是一个最佳化的子领域，研究了凸函式在凸集上的最小化问题。 用于凸集和凸函式属性研究的数学分支称为凸分析。

在向量空间

凸集

令S是实数上的向量空间，或者更一般地，是在某个有序域上，这包括欧几里德空间。如果对于C中的所有x和y，并且在区间（0,1）中的所有t，点 也属于C，则S中的集合C被称为凸。换句话说，连线x和y的线段上的每个点都在C中。这意味着实际或复杂拓扑向量空间中的凸集是路径连线的。此外，如果除了端点之外的连线x和y的线段上的每个点都在C的内部，则C是严格凸起的。 R的凸子集（实数集）仅仅是R的间隔。欧几里得平面的凸子集的一些例子是实心的正多边形，实心三角形和实心三角形的交集。欧几里德三维空间的凸子集的一些例子是阿基米德固体和柏拉图式固体。克卜勒 - 波诺索多面体是非凸集的例子。

非凸集

不凸的集合称为非凸集。 一个不是凸多边形的多边形有时被称为凹多边形，一些来源更普遍地使用术语凹集来表示非凸集，但大多数许可权禁止这种使用。 凸集的补集有时被称为反凸集，特别是在数学最佳化的上下文中。

属性

如果S是n维空间中的凸集，则对于S中的任何r> 1，n维向量 的集合，对于任何非负数 ， 那 ，那么： 这种类型的向量被称为 的凸组合。 一般的： 令 和 是凸集，则有以下重要性质： (1) 交集 为凸集。 (2) 和集 为凸集。 (3) 直和 为凸集。

交叉和联合

向量空间的凸子集的集合具有以下属性： （1）空集和整个向量空间是凸的。 （2）任意凸集集合的凸点是凸的。 （3）凸子集的非递减序列的并集是凸集。 对于凸集的非递减序列的联合的前述属性，对嵌套集的限制很重要：两个凸集的并集不必是凸的。

封闭凸集

闭合凸集是包含其所有极限点的凸集。 它们可以被表征为闭合半空间（位于超平面的一侧上的空间中的点集合）的交集。 从刚才所说的，很明显这样的交叉是凸的，它们也是封闭的。 为了证明相反，即每个凸集可以表示为这样的交集，需要以对于给定的闭凸集C和其外的点P的形式的支持超平面定理，存在封闭的半空间H，其包含 C而不是P.支持超平面定理是功能分析的哈恩 - 巴拿赫定理的特殊情况。

总和

凸包 矢量空间的每个子集A包含在最小的凸集（称为A的凸包）中，即包含A的所有凸集的交集。凸包运算符Conv（）具有包集的特征属性： 一般的：S⊆Conv（S）； 不减少S⊆T意味着Conv（S）⊆Conv（T）和幂等于Conv（Conv（S））= Conv（S）。 凸集运算是需要的一组凸集合形成一个格子，其中“连线”操作是两个凸集合的凸包的凸包 Conv（S）∨Conv（T）= Conv（S∪T）= Conv（Conv（S）∪Conv（T）） 任何一组凸集合的集合本身都是凸的，所以（实数或复合）向量空间的凸子集形成一个完整的格线。 闵可夫斯基加法 在实际向量空间中，将两个（非空）集合S1和S2的闵可夫斯基之和定义为通过向量元集合中的向量集合形成的集合S1 + S2： 更一般地，有限族（非空）集合的闵可夫斯基和是通过元素向量的向量 对于闵可夫斯基加法，仅包含零向量0的零集合{0}具有特殊的重要性：对于向量空间的每个非空子集S 在代数术语中，{0}是闵可夫斯基加法的本体元素（在非空集合的集合上）。 闵可夫斯基加法和凸包 闵可夫斯基加法在获得凸包的操作方面表现良好，如以下命题所示： 令S 1，S 2为真实矢量空间的子集，其闵可夫斯基和的凸包是其凸包的闵可夫斯基和： 对于非空集合的每个有限集合，此结果更为一般： 在数学术语中，闵可夫斯基求和和形成凸包的操作是相关联的操作。 闵可夫斯基凸集合： 闵可夫斯基的两个紧凑凸集的和是紧凑的。 紧凑凸集和闭合凸集合的总和是闭合的。