x的导数 导数的历史沿革

导数的历史沿革  

1750年达朗贝尔在为法国科学家院出版的《百科全书》第四版写的“微分”条目中提出了关于导数的一种观点，可以用现代符号简单表示：{dy/dx)=lim(oy/ox).

1823年，柯西在他的《无穷小分析概论》中定义导数：如果函数y=f(x)在变量x的两个给定的界限之间保持连续，并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值，那么是使变量得到一个无穷小增量。

19世纪60年代以后，魏尔斯特拉斯创造了ε-δ语言，对微积分中出现的各种类型的极限重加表达。

导数的定义也就获得了今天常见的形式。

微积分学理论基础，大体可以分为两个部分。

一个是实无限理论，即无限是一个具体的东西，一种真实的存在；另一种是潜无限，指一种意识形态上的过程，比如无限接近。

就数学历史来看，两种理论都有一定的道理。

其中实无限用了150年，后来极限论就是现在所使用的。

光是电磁波还是粒子是一个物理学长期争论的问题，后来由波粒二象性来统一。

微积分无论是用现代极限论还是150年前的理论，都不是最好的方法。

导数与物理，几何，代数关系密切：在几何中可求切线；在代数中可求瞬时变化率；在物理中可求速度、加速度。

导数亦名纪数、微商（微分中的概念），是由速度变化问题和曲线的切线问题（矢量速度的方向）而抽象出来的数学概念，又称变化率。

如一辆汽车在10小时内走了 600千米，它的平均速度是60千米/小时。

但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米/小时。

为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置s与时间t的关系为：

那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是：

当 t1与t0无限趋近于零时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，瞬时速度就近似等于平均速度 。

自然就把当时的极限 作为汽车在时刻t0的瞬时速度，这就是通常所说的速度.这实际上是由平均速度类比到瞬时速度的过程 （如我们驾驶时的限“速” 指瞬时速度）。

微积分

导数另一个定义：当时，是一个确定的数。

这样，当x变化时，f'(x)便是x的一个函数，我们称他为f(x)的导函数（derivative function），简称导数）.

y=f(x)的导数有时也记作y'，即（如右图） ：

物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。

如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度（就匀速直线加速度运动为例 位移关于时间的一阶导数是瞬时速度二阶导数是加速度）、可以表示曲线在一点的斜率（矢量速度的方向）、还可以表示经济学中的边际和弹性。

以上说的经典导数定义可以认为是反映局部欧氏空间的函数变化。

为了研究更一般的流形上的向量丛截面（比如切向量场）的变化，导数的概念被推广为所谓的“联络”。

有了联络，人们就可以研究大范围的几何问题，这是微分几何与物理中最重要的基础概念之一。

注意：1.f'(x)<0是f(x)为减函数的充分不必要条件，不是充要条件。

2．导数为零的点不一定是极值点。

当函数为常值函数，没有增减性，即没有极值点。

但导数为零。

（导数为零的点称之为驻点，如果驻点两侧的导数的符号相反，则该点为极值点，否则为一般的驻点，如 中f'(0)=0，x=0的左右导数符号为正，该点为一般驻点。

）

求导方法

① 求函数的增量

② 求平均变化率③ 取极限，得导数。