三余弦定理 三面角余弦定理详细资料大全

三面角余弦定理详细资料大全  

在三面角O-ABC中，设二面角B-OA-C为∠OA，则有：

cosBOC=cosAOBcosAOC+sinAOBsinAOCcosOA

或

cosOA=(cosBOC-cosAOBcosAOC)/sinAOBsinAOC

文字叙述为：三面角中任一二面角的余弦值，等于其所对面角的余弦减去另两个面角的余弦之积，再除以这两个面角的正弦之积。

根据这个定理，结合三正弦定理就可以求直线和平面所成角或二面角。

基本介绍

中文名：三面角余弦定理表达式：cosBOC=cosAOBcosAOC+sinAOBsinAOCcosOA套用学科：数学适用领域范围：求二面角 证明,方法一,方法二,三面角余弦定理第二形式,第二形式,证明,全向量证明,

证明

方法一

在OA上取一点D，过D作OD的垂线DE、DF分别交OB、OC于E与F。接着使用向量证明。 考虑有向线段 OD、OE、OF、DE、DF。易知： cos∠OA= DE·DF/(DE*DF) sin∠AOB=DE/OE sin∠AOC=DF/OF cos∠AOB=OD/OE cos∠AOC=OD/OF cos∠BOC= OE·OF/(OE*OF)； 则实际是要证明： DE·DF/(DE*DF)*DE/OE*DF/OF+OD/OE*OD/OF=OE·OF/(OE*OF) 整理得( DE·DF+OD 2)/(OE*OF)= OE·OF/(OE*OF) 即是要证明OD 2+ DE·DF=OE·OF； 显然， OE·OF=(OD+DE)·(OD+DF)=OD 2+ OD·DE+OD·DF+DE·DF， 注意到 OD·DE=OD·DF=0，即可证明原式。

方法二

将三面角O-ABC放入单位球中，并设三面角与球面的交点分别为A、B、C。过A作球面的切平面，射线OB、OC与切平面交点为B'、C‘。则： ∠OA=∠B'AC'=A，AB'=tan∠AOB=tanc，AC'=tan∠AOC=tanb，OB'=1/cos∠AOB=1/cosc，OC'=1/cos∠AOC=1/cosb 在△AB'C'中，由余弦定理得 B'C' 2=tan 2c+tan 2b-2tanc*tanb*cosA 在△OB'C'中，由余弦定理得 B'C' 2=1/cos 2c+1/cosb-2cos∠BOC/(cosc*cosb) ∴sin 2c/cos 2c+sin 2b/cos 2b-2sinc*sinb*cosA/(cosc*cosb) =1/cos 2c+1/cos 2b-2cos∠BOC/(cosc*cosb) 两边乘以cos 2c*cos 2b得 sin 2c*cos 2b+sin 2b*cos 2c-2sinc*cosc*sinb*cosb*cosA =cos 2b+cos 2c-2cosb*cosc*cos∠BOC 移项，整理得 cos 2b(1-sin 2c)+cos 2c(1-sin 2b)-2cosb*cosc*cos∠BOC=-2sinc*cosc*sinb*cosb*cosA 化简得cos∠BOC=cosb*cosc+sinb*sinc*cosA 也就是cos∠BOC=cos∠AOBcos∠AOC+sin∠AOBsin∠AOCcos∠OA

三面角余弦定理第二形式

第二形式

在三面角O-ABC中，设二面角B-OA-C为∠OA，则有：

证明

将三面角O-ABC的顶点与单位球的球心重合，并设三边与球面分别交于A、B、C。根据球面三角形的定义，在球面△ABC中，∠AOB=c，∠BOC=a，∠AOC=b；∠OA=A，∠OB=B，∠OC=C。则余弦定理的第一形式可化为： 余弦定理的第二形式可化为： 由于球面三角形与其极对称三角形之间存在定量的边角关系，因此不妨设球面△ABC的极对称三角形为△A'B'C'，则在△A'B'C'中，由余弦定理的第一形式得 ∵a'=π-A，b'=π-B，c'=π-C，A'=π-a ∴上式可化为 即 证明完毕

全向量证明

三面角余弦定理的全向量证明