证明不等式e的x次方大于ex 证明不等式 1-x

证明不等式 1-x>
证明不等式 1-x<x[1/x] 谢谢![1/x]是取整的意思!
证明:
由取整定义知:1/x-1<[1/x]<=1/x,所以x>0时两边乘以x可知1-x<x[1/x]<1
证明不等式:1/(x+1)<ln(1+x)-ln(x)<1/x (x>0)
证明:令1/x=t x=1/t (t>0)
则 等价求证:t/(1+t)<ln(1+1/t)<1/t
设f(t)=t/(1+t)-ln(1+t) t>0
f'(t)=1/(1+t)²-1/(1+t)=-t/(1+t)²<0
又∵t→0 f(t)=0 f'(t)<0则函数f(t)在t>0时单调递减
∴f(t)<0
∴t/(1+t)-ln(1+t)<0 t/(1+t)<ln(1+t)
同理 设f(t)=ln(1+t) -t t>0
f'(t)=1/(1+t)-1=-t/(1+t)<0
又∵t→0 f(t)=0 f'(t)<0则函数f(t)在t>0时单调递减
∴f(t)<0 ln(1+t)-t<0
∴ln(1+t)<t
综上 t/(1+t)<ln(1+t)<t
∴x/(1+x)<ln(1+1/x)<1/x
证明不等式 x<arcsinx<x/[(1-x^2)^(1/2)],要步骤。谢谢。
显然x的取值范围为(0,1),
如果没有学过拉格朗日中值定理,
可作如下证法:
构造函数f(t)=t/√(1-t^2)-arcsint,
则f'(t)=t^2/[(1-t^2)√(1-t^2)].(求导过程省略)
显然,0<t<1时,f'(t)>0.
∴f(t)在0<x<1时,单调递增,f(x)>f(0)=0,
∴x/√(1-x^2)-arcsinx>0,
即arcsinx<x/√(1-x^2).
构造函数g(t)=arcsint-t,
则0<t<1时,g'(t)=1/√(1-t^2)-1>0,
∴g(t)在0<t<1时单调递增,
∴0<x<1时,g(x)>g(0)=0,
∴arcsinx-x>0,即arcsinx>x.
综上所述,x<arcsinx<x/√(1-x^2)成立。
证明 当X>0是 有不等式 1/1+x<In[(1+x)/x]<1/x
解1:ln[(x+1)/x]=ln(1+x)-lnx
在[x,x+1]上用拉格朗日中值定理得
ln(1+x)-lnx=(1+x-x)(1/ε)=1/ε 其中 x<ε<x+1
所以1/(x+1)<1/ε<1/x
于是1/(x+1)<ln(1+x)-lnx<1/x原命题得证
解2:构造函数用单调性证明x/(1+x)<ln(1+x)<x成立
然后令x=1/x就得到要证的不等式。过程略,就是简单的构造函数求导。
证明关于[x]的不等式 当x>0时1-x<x[1/x]小于等于1
因为(1/x)-1<[1/x]≤1/x,所以...
设0<x<1,是证明不等式x<arcsinx<x/[(1-x^2)^(1/2)],要步骤
用中值定理证明:
记f(x)=arcsinx,f(0)=0.显然f(x)在0<x<1上满足中值定理条件,
于是存在0<x0<x<1,使得f(x)-f(0)=f'(x0)(x-0)
即arcsinx=[1/(1-x0^2)^(1/2)]x
因为0<x0<x
所以1<[1/(1-x0^2)^(1/2)]<[1/(1-x2)^(1/2)]
则x<arcsinx<x/[(1-x^2)^(1/2)],
命题得证。
证明不等式:1/1+1/(1x2)+1/(1x2x3)+.+1/(1x2x3x.xn)<2
左式<1/1+1/(1x2)+1/(2x3)+1/(3x4)+.....+1/((n-1)xn)<1+1-1/n<2
不等式1/(x+1)>1/x+1的解集,谢谢
1/(x+1)-1/x-1>0
[x-(x+1)-x(x+1)]/[x(x+1)]>0
[-1-x^2-x]/[x(x+1)]>0
(x^2+x+1)/[x(x+1)]<0
因为恒有x^2+x+1=(x+1/2)^2+3/4>0
所以有x(x+1)<0
-1<x<0
当x>0时,证明不等式cos x>1-(1/2)x^2
cosx=1-2sin²(x/2)
因为sina<a,所以sin(x/2)<(x/2),所以sin²(x/2)<(x/2)²
于是1-2sin²(x/2)>1-2(x/2)²=1-(1/2)x²
高数①limx→0[√(x+2)-2]/[√(x-1)-1],√是根号②证明不等式,当x>1时,2√x>3-(1/x)要过程 谢谢
lim(x→0)[√(x+2)-2]/[√(x-1)-1]
这个题目分母无意义
令y=2√x-[3-(1/x)]=2√x-3+(1/x)
y'=1/√x-1/x^2=(x^2-x)/x^2=(x-1)/x>0
因此y在x>1时单增
当x=1时2√x=3-(1/x)
所以当x>1时,2√x>3-(1/x)