IAQI计算 计算I＝∫∫ln （x ^2＋y ^2＋1）dxdy ，其中D ：x ^2＋y ^2≤a ^2

计算I＝∫∫ln （x ^2＋y ^2＋1）dxdy ，其中D ：x ^2＋y ^2≤a ^2  

计算I＝∫∫ln （x ^2＋y ^2＋1）dxdy ，其中D ：x ^2＋y ^2≤a ^2

∫∫_D f(x，y) dxdy
= ∫(0→2π) dθ ∫(0→a) ln(r² + 1) · r dr
= ∫(0→2π) · 1/2 · [(r² + 1)ln(r² + 1) - r²]：(0→a) dθ
= ∫(0→2π) · 1/2 · [(a² + 1)ln(a² + 1) - a²] dθ
= 1/2 · [(a² + 1)ln(a² + 1) - a²]θ：(0→2π)
= [(a² + 1)ln(a² + 1) - a²]π

计算I=∫∫D|x^2+y^2-4|dxdy，其中D:x^2+y^2≦9

化极坐标，
dxdy=rdrda
x^2+y^2=r^2
D: rE[0,3] aE[0,2pai]
原式=∫∫D|r^2-4|rdrda r^2-4>=0时,3>=r>=2 ，D1是一个环。 D1:rE[2,3] aE[0,2pai]
r^2-4<=0时，rE[0,2] D2是个圆。D2：rE[0,2]
原式=∫∫D1(r^2-4)rdrda+∫∫D2 (4-r^2)rdrda
=∫(0,2pai)da∫(2,3)(r^3-4r)dr+∫(0,2pai)∫(0,2) (4r-r^3)dr
=2pai*[r^4/4-2r^2] (2,3) +2pai * (2r^2-r^4/4] (0,2)
[r^4/4-2r^2] (2,3)=81/4-18-16/4+8=65/4-10
(2r^2-r^4/4] (0,2)=8-16/4=4
原式=2pai(65/4-10+4)=2pai(65/4-6)=2pai(41/4)=41pai/2

计算∫∫（D）e^【-（x^2+y^2）】dxdy，其中D为x^2+y^2≤4

原式 = ∫<0, 2π>dt ∫<0, 2>e^(-r^2) rdr
= -(1/2)∫<0, 2π>dt ∫<0, 2>e^(-r^2) d(-r^2)
= -(1/2) 2π [e^(-r^2)]<0, 2> = π(1 - 1/e^4)

计算∫∫D((根号下x^2+y^2)-xy)dxdy,其中D为x^2+y^2≤1

作x=rcosφ，y=rsinφ,D':0<=r<=1,0<=φ<=2π
∫∫D((根号下x^2+y^2)-xy)dxdy=∫∫D'((r-r^2sinφcosφ)rdφdr
=∫∫D'r^2dφdr-∫∫D'r^3sinφcosφdφdr
=(2π)/3-1/4[1/2sinφ]^2(0-2π）
=(2π)/3

∫∫ln(x^2+y^2)dxdy,其中1<=x^2+y^2<=9

∫∫ln(x^2+y^2)dxdy
=∫[0,2π]dθ ∫[1,3] ln(r^2)*rdr
= 2π * { 1/2 ∫[1,3] ln(r^2)dr^2 ｝
= π*∫[1,9] lntdt
= π*{tlnt|[1,9] - ∫[1,9] 1dt }
= π*{9ln9 -8}
= π*{18ln3 - 8 }

计算∫∫㏑(x^2+y^2)dσ, 其中D:1≤x^2+y^2≤4

用极坐标变换
原式=∫(0,2π)dθ∫(1,2)ln(r^2)rdr
=2π*(1/2)*∫(1,2)ln(r^2)d(r^2)
=π*[r^2*ln(r^2)-r^2]|(1,2)
=π*(4ln4-4+1)
=(4ln4-3)π

这是一个简单的二重积分，转换为极坐标，半径r从1到2积分，角度a从0到2兀，注意dxdy=rdrda,原式为S1~2S0~2兀rdrda。积分得3兀。S1~2表示summary one to o,1到2的积分

计算积分∫∫（1+x^2+y^2）dxdy 其中D为圆x^2+y^2=1的平面？

换成极坐标,很容易
3/2*Pi

∫∫ln(1+X^2+Y^2)dxdy,其中1<=X^2+Y^2<=9

解：原式=∫<0,2π>dθ∫<1,3>ln(1+r^2)rdr (作极坐标变换)
=2π∫<1,3>(1/2)ln(1+r^2)d(1+r^2)
=2π(5ln10-ln2-4) (应用分部积分法)。

计算 ∫ ∫ x^2 dxdy 其中D区域为1≤(x^2+y^2)≤4 D

区间关于y=x对称
∫ ∫ (D)x^2 dxdy =∫ ∫ (D)y^2 dxdy
∫ ∫ (D)x^2 dxdy=(1/2)∫ ∫ (D)(x^2+y^2) dxdy
=(1/2)∫(0~2π)∫(1~2)r^3dr
=π(1/4)r^4|(1,2)
=15π/4