欧拉定理互质 莱昂哈德·欧拉.txt

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Euler，1707 月18日）是瑞士数学家和物理学家。他被一些数学史学者称为历史上最伟大的两位数学家之一（另 一位是卡尔弗里德里克高斯）。欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表 达式的人，例如：y (函数的定义由莱布尼兹在1694年给出)。他是把微积分应用于 物理学的先驱者之一。 中文名： 外文名：Leonhard Euler 别名： 分析的化身 国籍： 瑞士 出生地： 瑞士 出生日期： 1707 逝世日期：1783 职业：数学家，物理学家 毕业院校： 巴塞尔大学 信仰： 基督教 主要成就： 提出函数的概念 创立分析力学 解决了柯尼斯堡七桥问题 给出欧拉公式 目录 简介 贡献 事迹 影响他的两个因素 年轻的欧拉 轶事 成就 评价 以欧拉之名欧拉公式 欧拉函数 欧拉定理 欧拉角 欧拉方程 简介 贡献 事迹 影响他的两个因素 年轻的欧拉 轶事 成就 评价 以欧拉之名 欧拉公式 欧拉函数 欧拉定理 欧拉角 欧拉方程展开 编辑本段简介 月15日出生于瑞士，在那里受教育。欧拉 是一位数学神童。他作为数学教授，先后任教于圣彼得堡和柏林，尔后再返圣彼得堡。欧拉 是有史以来最多产的数学家，他的全集共计75 卷。

欧拉实际上支配了18 世纪的数学，对于 当时新发明的微积分，他推导出了很多结果。在他生命的最后7 年中，欧拉的双目完全失明， 尽管如此，他还是以惊人的速度产出了生平一半的著作。 欧拉的一生很虔诚。然而伦哈特·欧拉始简介，那 个广泛流传的传说却不是真的。传说中说到，欧拉在叶卡捷琳娜二世的宫廷里，挑战德尼狄 x；所以上帝存在，这是回答！”欧拉的离世也很特别：在朋 友的派对中他中途退场去工作，最后伏在书桌上安静的去了。 小行星欧拉2002 是为了 纪念欧拉而命名的。 编辑本段贡献 欧拉的纪念货币与邮票(6 “欧拉进行计算看起来毫不费劲儿，就像人进行呼吸，像鹰在风中盘旋一样”(阿拉戈语)，这句话对欧拉那无与伦比的数学才能来说并不夸张，他 是历史上最多产的数学家。与他同时代的人们称他为“分析的化身”。欧拉撰写长篇学术论文 就像一个文思敏捷的作家给亲密的朋友写一封信那样容易。甚至在他生命最后17 年间的完全 失明也未能阻止他的无比多产，如果说视力的丧失有什么影响的话，那倒是提高了他在内心 世界进行思维的想像力。 欧拉到底为了多少著作，直至1936 年人们也没有确切的了解。 但据估计，要出版已经搜集到的欧拉著作，将需用大4 开本60 至80 卷。

1909 年瑞士自然科 学联合会曾着手搜集、出版欧拉散轶的学术论文。这项工作是在全世界许多个人和数学团体 的资助之下进行的。这也恰恰显示出，欧拉属于整个文明世界，而不仅仅屈于瑞士。为这项 工作仔细编制的预算(1909 年的钱币约合80000美元)却又由于在圣彼得堡(列宁格勒)意外地 发现大量欧拉手稿而被完全打破了。 编辑本段事迹 欧拉诞辰 300 周年纪念活动(8 张)欧拉的数学生涯开始于牛顿(Newton)去世的那一年。 对于欧拉这样一个天才人物，不可能选择到一个更有利的时代了。解析几何(1637 年问世)已 经应用了90 年伦哈特·欧拉始简介，微积分大约50 年，牛顿(Newton)万有引力定律这把物理天文学的钥匙，摆 到数学界人们面前已40 年。在这每一个领域之中，都已解决了大量孤立的问题，同时在各处 做了进行统一的明显尝试。但是还没有像后来做的那样，对整个数学，纯粹数学和应用数学， 进行任何有系统的研究。特别是笛卡儿(Descrates)、牛顿(Newton)和莱布尼茨(Leibniz)强 有力的分析方法还没有像后来那样被充分运用，尤其在力学和几何学中更是如此。 那时 代数学和三角学已在一个较低的水平土系统化并扩展了。

特别是后者已经基本完善。在费马 (Fermat)的丢番图分析和一般整数性质的领域里则不可能有任何这样的"暂时的完善"(甚至 到现在也还没有)。但就在这方面，欧拉也证明了他确是个大师。事实上，欧拉多方面才华的 最显著特点之一，就是在数学的两大分支－－连续的和离散的数学中都具有同等的能力。 作为一个算法学家，欧拉从没有被任何人超越过。也许除了雅可比之外，也没有任何人接近 过他的水平。算法学家是为解决各种专门问题设计算法的数学家。举个很简单的例子，我们 可以假定(或证明)任何正实数都有实数平方根。但怎样才能算出这个根呢？已知的方法有很 多，算法学家则要设计出切实可行的具体步骤来。再比如，在丢番图分析中，还有积分学里， 当一个或多个变量被其他变量的函数进行巧妙的(常常是简单的)变换之前，问题往往不可能 解决。算法学家就是自然地发现这种窍门的数学家。他们没有任何同一的程序可循，算法学 家就像随口会作打油诗的人－－是天生的，而不是造就的。 目前时尚轻视"小小算法学 家"。然而，当一个真正伟大的算法学家像印度的罗摩奴阔一样不知从什么地方意外来临的时 候，就是有经验的分析学者也会欢呼他是来自天国的恩赐：他那简直神奇的对表面无关公式 的洞察力，会揭示出隐藏着的由一个领域导向另一个领域的线索。

从而使分析学者得到为他 们提供的弄清这些线索的新题目。算法学家是"公式主义者"，他们为了公式本身的缘故而喜 欢美观的形式。 编辑本段影响他的两个因素 在谈到欧拉平静而有趣的生活之前，我们必须介绍一下他那个时代的两个环境因素，这 些因素促进了他的惊人的活跃，并对他的活动有指导作用。 在18 世纪的欧洲，大学不 是学术研究的主要中心。假如没有古典派的传统及其对科学研究的可以想像的敌意，大学本 来是可以成为主要中心的。数学对于古代人足够严密，受到重视；而物理学比较新，受到人 们的怀疑。此外，在当时的大学里，人们希望数学家把他的大部分力量放在基础教学上。至 于学术研究，如果搞的话，那将是毫无益处的奢侈，就像今天在一般的美国高等学校里那样。 那时候英国大学的研究员满能够把他们选择的课题搞得相当好。然而，他们很少愿意选择什 么课题，反正搞成了什么或没搞成什么都不会对他们的面包和黄油产生影响。在如此的松弛， 或者说公开的敌意之下，根本没有什么好理由来解释为什么那些大学本来应该在科学发展中 起带头作用，而事实上却没有起到。 这个带头的责任由得到慷慨或有远见的统治者所资 助的各个皇家科学院承担了。普鲁士腓特烈大帝和俄国叶卡捷琳娜女皇慷慨地给了数学以无 法报偿的资助。

他们使得数学的发展有可能在整整一个世纪之中处于科学史上一个最活跃的 时期。对欧拉来说，是柏林和圣彼得堡提供了数学创作的力量。而这两个创造力的中心都应 当把它们对欧拉的激励归功于莱布尼茨(Leibniz)不断进取的雄心。是莱布尼茨(Leibniz)起 草过规划的这两个科学院给欧拉提供了成为历史上最多产的数学家的机会。因而，在某种意 义上说，欧拉是莱布尼茨(Leibniz)的苗裔。 柏林科学院由于缺乏头脑而日渐衰败已有 40 年，欧拉在腓特烈大帝的鼓励下给了它有力的冲击，使它再次有了生气。彼得大帝在世时 没来得及按照莱布尼茨(Leibniz)的规划建立起来的圣彼得堡科学院，则由他的继位者建立起 来了。 这两个科学院不像今天一些科学院那样以鉴定精心撰写的优秀著作，授予院士资 格为主要职责。它们是研究机构，雇佣院士进行科学研究。薪水和津贴金很优厚，使人足以 保证本身家庭的舒适生活。欧拉的家属一度不少于18 个人，他还是足以维持他们都过着丰裕 的生活。使18 世纪院士生活具有吸引力的最后一点是，他的孩子们只要有任何一点才能，都 肯定会得到很好的施展机会。 接下来我们就会看到对欧拉的丰硕数学成果具有决定性影 响的第二个因素。

提供财政支持的统治者很自然地会希望他们的金钱除开抽象的文化之外再 多换到些东西。但必须强调的是，一旦统治者的投资得到了适当的报偿，他们就不再坚持要 受雇佣的人把剩余时间也花到"生产性"工作上了。欧拉、拉格朗日和其他院士们都可以自由 地做他们乐意做的工作。没有任何明显的压力来迫使谁搞出点什么能被政府直接利用的实际 成果。18 世纪统治者们比今天许多研究院院长更明智的是让科学按自己的规律发展的，只不 过偶尔提到他们眼前需要什么。他们似乎本能地意识到了，只要不时作个恰当的暗示，所谓 的"纯粹"研究就会把他们期待的紧迫实际问题作为副产品搞出来。 这个笼统的说法有一 个重要的例外，它既不证明，也不否定这个规律。刚巧在欧拉的时代，数学研究中悬而未决 的问题正好与海洋霸权这个当时也许是第一等的实际问题联系在一起。航海技术胜过所有其 他对手的国家必然会控制海洋。而航海的首要问题是在离岸数百海浬的大海中精确地确定舰 船的位置，以使之比敌手更快地航抵海战的地点(不幸，只是为了这个)。正如众所周知的， 英国控制了海洋。它能做到这一点，在很大程度上是由于它的航海家在18 世纪能够把天体力 学中的纯数学研究成果加以实际应用。

这样一项实际应用正与欧拉直接有关。现代航海的奠 基人当是牛顿(Newton)，尽管他本人并不曾为这个问题费过脑筋，也从不曾(就人们迄今所知) 踏上过一艘舰船的甲板。确定海上船的位置要靠观测天体(在特别的航行中有时这要包括木星 的卫星)。牛顿(Newton)万有引力定律表明必要时以充分的耐心可以预先算出百年之内的行星 位置和月相盈亏之后，希望控制海洋的那些人便安排航海天文历的计算人员下苦功编制行星 未来位置的表格。 在这一项很实用的事业中，月亮引出了特别棘手的问题，即牛顿 (Newton)定律彼此吸引的三个星体的问题。当我们进入20 世纪的时候，这个问题还要重现许 多次。欧拉是第一个为这个月球问题提出一种可以计算的解法(月球理论)的人。这三个相关 星体是月亮、地球和太阳。虽然关于这个问题在这里谈不了什么，要推到后几章去，但我们 可以说，这个问题是整个数学范畴内最难的问题之一。欧拉不曾具体解答这个问题，但他的 近似计算方法(今天被更好的方法代替)具有充分的实用价值，足以使英国的计算人员为英国 海军部算出月球表了。为此，计算者获得5000 英镑(当时这是相当大的一笔款子)，欧拉因其 方法而得到300 英镑的奖金。

编辑本段年轻的欧拉 伦纳德．欧拉(LeonardEuler) 是保罗．欧拉(PaulEuler) 与玛格丽特．布鲁克 (MargueriteBrucker)夫妇的儿子，大概是瑞士出现的最伟大的科学家。1707 他生于巴塞尔。但第二年随父母搬到了附近的乡村里兴(Riechen)。在那里他的父亲当了加尔文派的牧师。保罗．欧拉本人就是个有造诣的数学家，他曾是雅格布．伯努利的学生。这位 父亲想要伦纳德也走他的路，在乡村教堂继承他的职务。可是，谢天谢地，他犯了教这孩子 数学的"错误"。 年轻的欧拉很早就知道自己应该做的是什么。但是他对父亲非常孝顺， 于是进了巴塞尔大学，学习神学和希伯来语。这时在数学方面已具有相当水平的欧拉吸引了 约翰尼斯．伯努利的注意。他热心地每周给这个年轻人单独上一次课。欧拉利用每周的其余 时间预习下一课的内容，以便听老师讲课时疑难问题尽可能地少。很快，他的勤勉和卓越能 力被丹尼尔．伯努利和尼古拉，伯努利注意到了，他们俩成了欧拉的亲密朋友。 伦纳德 直到1724 年他17 岁获得硕士学位才得以快活起来，因为在那以前他的父亲一直坚持要他放 弃数学而把全部时间花到神学上去。只是当这位做父亲的听到伯努利父子说他的儿子注定将 成为大数学家而不是里兴的牧师之后，才终于让了步。

伯努利父子的预言实现了，但欧拉早 年受到的宗教训练影响了他的整个一生。他从未丢弃过一点加尔文派教徒的信仰。到晚年， 他甚至在相当大的范围里转而从事他父亲的行当，他带领全家做家庭祈祷，并通常以讲道来 结束。 欧拉的第一项独立工作做于19 岁的时候。据说，这第一个成就同时显露出他后 来许多工作的特长和弱点。1727 年，巴黎科学院提出船舶树桅问题悬赏征答。欧拉的论文没 有赢得这笔奖金，只获得表扬。他后来以赢得12 次奖金补偿了这次失落。他的工作的特长在 于所包含的分析学－－技术数学;它的弱点是与实际的联系－－如果有的话－－太疏远。如果 我们记得那个传说的纯属子虚乌有的瑞士海军的笑话，对后者就不会觉得很奇怪了。欧拉在 瑞士的湖泊可能见到过一、二只小舟，但他绝没见到过战舰。他有时受到批评，说他让数学 脱离了现实。这并不冤枉。对欧拉来说，物质世界只是数学所需要的，而本身并不是一种很 有趣的东西。如果世界与他的分析学不一致，那就是世界有毛病。 欧拉知道自己天生是 个数学家，便在巴塞尔申请教授职位。求职失败，在同正在圣彼得堡的丹尼尔．伯努利和尼 古拉．伯努利为伍的希望鼓舞下，他又继续自己的学习。伯努利兄弟热心地提议为他在圣彼 得堡科学院找个职位，并让他及时了解那里的情况。

这个阶段，欧拉看起来对做什么都 无所谓，只要是科学就行。当伯努利兄弟写信告诉他圣彼得堡科学院的医学部将有个空缺时， 欧拉在巴塞尔便全力投入生理学的研究，并出席医学报告会。但是，即便在这个领域，他也 未能脱离数学：听觉生理学提出了以波动方式依次传播声音等数学研究问题，这项早期的工 作像恶梦中疯长的树那样分枝扩展而贯穿到欧拉整个一生的事业之中。 事迅速的人。1727年欧拉收到了去圣彼得堡任科学院医学部成员的邀请。按照一项聪明的规 定，每个外来的成员都要带领两个学员－－实际是接受训练的徒弟。可怜的欧拉，欢乐很快 就变得无影无踪。就在他踏上俄国土地的那一天，开明的叶卡捷琳娜一世女皇去世了。 卡捷琳娜在成为彼得大帝的妻子以前是他的情妇，从不止一个方面看，就已经是一个胸怀宽广的人。就是她，在位仅两年，便实现了彼得创建科学院的愿望。叶卡捷琳娜死后，在小沙 皇未成年的情况下，权力落入非常暴虐的集团手里(小沙皇在能够执政以前死去也许是幸运 呢)。俄国的新统治者把科学院看作不必要的奢侈品，有几个月甚至打算把它砍掉，并把所有 外籍院士遣送回国。这就是欧拉到达圣彼得堡时的情形。混乱中，关于邀请他担任的医学部 职务杳无音讯，他在绝望中几乎接受了海军上尉的职衔，后来得便溜进了数学部。

在这 之后，条件好了一点，欧拉便专心工作。整整6 年，他一直埋头在书堆里。这倒不完全是因 为他被数学吸引住了，部分地也是因为到处都有密探，使他不敢进行正常的交际活动。 编辑本段轶事 1733 年，丹尼尔．伯努利吃够了神圣俄罗斯的苦头回自由的瑞士去了，26 岁的欧拉坐上 了科学院的第一把数学交椅。他感到自己以后的生活要固定在圣彼得堡，便决定结婚，定居 下来，并随遇而安。夫人凯瑟琳娜(Catharina)，是彼得大帝带回俄国的画家格塞尔(Gsell) 的女儿。后来政治形势变得更糟了，欧拉曾经绝望得想逃走，但随着孩子一个接一个地很快 出生，他又感到被栓得越来越牢了，使到不休止的工作中去寻求慰借。某些传记作家把欧拉 的无比多产追溯到他这第一次旅居俄国的时期；平常的谨慎迫使他去成了勤奋工作的牢不可 破的习惯。 欧拉是能在任何地方、任何条件下进行工作的几个伟大数学家之一。他很喜 欢孩子(他自己曾有13 个，但除了5 个以外，都很年轻就死了)。他写论文时常常把一个婴儿 抱在膝上，而较大的孩子都围着他玩。他写作最难的数学作品时也令人难以置信的轻松。 许多关于他才思横溢的传说流传至今。有些无疑是夸张的，但据说欧拉确实常常在两次叫他 吃晚饭的半小时左右的时间里赶出一篇数学论文。

文章一写完，就放到给印刷者准备的不断 增高的稿子堆儿上。当科学院的学报需要材料时，印刷者便从这堆儿顶上拿走一旦。这样一 来，这些文章的发表日期就常常与写作顺序颠倒。由于欧拉习惯于为了搞透或扩展他已经做 过的东西而对一个课题反覆搞多次，这种恶果便显得更严重，以至有时关于某课题的一系列 文章发表顺序完全相反。 1730 年小沙皇死去，安娜．伊凡诺芙娜(Annalvanovna，彼得 的侄女)当了女皇。就科学院而言，受到了关心，工作活跃多了。而俄国，在安娜的宠臣欧内 斯特．约翰．德．比隆的间接统治下，遭受了其历史上一段最血腥的恐怖统治。10 年里，欧 拉沉默地埋头工作。这中间，他遭受了第一次巨大的不幸。他为了赢得巴黎奖金而投身于一 个天文学问题，那是几个有影响的大数学家搞了几个月时间的(由于有一个类似的问题在高斯 (Gauss)那里出现，我们在这里不介绍它)，欧拉在三天之后把它解决了。可是过分的劳累使 他得了一场病，病中右眼失明了。 应该注意到，怀疑数学史中所有趣闻轶事的现代考证 已经指出，欧拉右眼的失明根本不能怪那个天文学问题，至于博学的考据家(或别的什么人) 怎么会对所谓的因果定律懂得这么多，这对于大卫．休谟(DavidHume，欧拉的同时代人)的在 天之灵来说则是个有待解决的秘密了。

让我们再小心翼翼地谈一下欧拉与无神论者(或许是个 泛神论者)法国教授丹尼斯．狄德罗(DenisDiderot，1713-1784)的著名故事。这有点越出了 年代顺序，因为这件事发生在欧拉第二次居住俄国期间。 受叶卡捷琳娜二世女皇邀请访 问宫廷的狄德罗靠着向朝臣们宣传无神论过日子。叶卡捷琳娜感到厌烦了，便叫欧拉封住这 个夸夸其谈的哲学家的嘴。这很容易，因为整个数学对于狄德罗那是天外玄机。德．摩根 (DeMorgan)讲到这件事的经过(在他的名著(悖论汇编)中，1872)：有人告诉狄德罗，一个博 学的数学家有上帝存在的代数证明。如果他想听，那个数学家将当着整个宫廷公布出来。狄 德罗高兴地同意了。„„欧拉来到狄德罗跟前，以深信不疑的语调庄重地说： "先生， 因为，所以上帝存在。请回答！" 这让狄德罗听起来像满有道理似的。这个可怜的人由 于难堪的沉默而受到无情嘲笑的羞辱，只好向叶卡捷琳娜请求立即回法国。女皇宽厚地答应 欧拉还不满足于这个杰作，他又极其认真地用灵魂非有形物质的庄严证明来画蛇添足。据说，这两个证明当时都写进了神学论文。这些很可能就是欧拉的才华中确赏脱离现 实的方面最突出的代表作。

在欧拉居住俄国期间，数学本身并没有用完他的全部能力。 在要他用与纯粹数学相差不太远的方法施展其数学才能的任何地方，他都使政府的钱花得很 值得。欧拉为俄国学校写过一些初等数学教科书，管理过政府的地理部，帮助改革过度量衡， 设计过检验天平的实用方法。这些只是他全部活动的一部分，但不管欧拉做多少别的工作， 他总是能不断地在数学方面拿出成果来。 这个时期最重要的著作之一是1736 年关于力 学的一篇论文。按语中没有出版日期，但有一个笛卡儿(Descrates)解析几何出版百年纪念的 标注。欧拉的论文为力学做了笛卡儿(Descrates)的论文为几何学做过的事使之摆脱综合证明 的束缚并使之解析化。牛顿(Newton)的(原理)可以由阿基米德写出来；欧拉的力学却不能由 任何希腊人写出来。有力的微积分学被初步引入力学，并进入开创基础科学的现代时期。在 这方面，欧拉后来又被他的朋友拉格朗日(Lagrange)超越了，但采取决定性步骤的荣誉是属 1740年安娜死后，俄国政府变得比较开明，但欧拉已吃够了苦头，高兴地 接受腓特烈大帝的邀请到了柏林科学院。皇太后十分喜欢欧拉，并试图逗他多讲话。她得到 的全是单音节的回答。

"你为什么不愿对我讲话？"她问。 "陛下，"欧拉回答说，" 我来自一个谁讲话谁就要被绞死的国家。" 这以后，欧拉在柏林度过了24 年。日子并不 都是很愉快的，因为腓特烈喜欢的是圆滑的廷臣，而不是单纯的欧拉。虽然腓特烈感觉到了 赞助数学发展的责任，但他又瞧不起这个学科，自己也不谙此道。不过他还是很赏识欧拉的 才能，用来解决造币、水管、运河通航、年金系统及其他实际问题。 俄国从来不让欧拉 完全脱离它，甚至当欧拉在柏林的时候还给他支付部分薪金。尽管欧拉家属众多，他还是很 富裕。除了柏林的房子，他在夏洛滕堡附近还有一个农庄。在1760 年俄国入侵勃兰登堡地区 时，欧拉的农庄遭到了劫掠。俄军统帅声明他"并非向科学开战"，给了欧拉远远大于实际损 失的赔偿。当伊丽莎白皇后听到欧拉遭到劫掠的消息时，她另外又给了他超过赔偿需要的数 目可观的一大笔钱。 欧拉在腓特烈的宫廷不受欢迎的一个原因是他不能置身于哲学问题 的辩论之外，而对那些问题他是一窍不通的。整天只想着向腓特烈献媚的伏尔泰(Voltaire) 喜欢与腓特烈周围另一些善于咬文嚼字的人一道用形而上学的难题来纠缠取笑不幸的欧拉。 欧拉拿出全副好脾气进行应付，随着他人的哄闹，嘲笑自己的滑稽错误。

但腓特烈逐渐感到 恼火了，他开始设法寻找一个比较善辩的哲学家来领导他的科学院并增添他宫廷的欢乐。 达朗贝尔(D'Alembert)被邀请到柏林察看情况。他跟欧拉在数学方面小有龃龉。但达朗贝尔 (D'Alembert)可不是那种让个人的不和影响判断的人。他直率地对腓特烈说，把任何别的数 学家置于欧拉之上都是一种侮辱。这个忠告结果只是使腓特烈比原来更加生气和执拗，欧拉 的处境变得无法忍受了。他感到，他的孩子们在普鲁士不会有任何前途。终于在他59 候(1766年)收拾起行装，应叶卡捷琳娜二世的热诚邀请再次移居圣彼得堡。 娜像接待皇亲一样欢迎这位数学家，又给欧拉和他的18位家属拨了一处家俱齐备的住宅，还 把自己的一名厨师给了欧拉，为他管理膳食。 就在这个时候，欧拉余下的一只眼睛开始 失明了(因白内障)，不久他就完全成了盲人。在他视力逐渐丧失的过程中，拉格朗日、达朗 贝尔和当时的其他大数学家在来往的书信中都表示震惊和同情。而欧拉本人面对失明的到来 却很镇定。毫无疑问，他的深挚的宗教信仰帮助了他面对未来。但是他并没有让自己屈服于 寂静和黑暗，很快便着手补救无法恢复的视力。在最后一点光感消失之前，他就使自己习惯 了用粉笔在大石板上写公式，然后他的孩子们(特别是阿尔伯特[AlbertEuler])当抄写员，他 再口授公式的解释。

他的数学新作不仅没有减少，反而增多了。 欧拉整个一生都幸运地 具有非凡的记忆力。他背过维吉尔的(Virgil(埃涅阿斯纪)(Aeneid)尽管他从年轻时起就很少 读这本书，但他始终能够说出他那个版本每一真的开头和结尾。他的记忆既是视觉的，也是 听觉的。他还有惊人的心算能力，不仅能算算术题，也能算比较难的要用到高等代数和微积 分的题目。那个时代整个数学领域的主要公式都准确地装在他的脑子里。 作为他心算能 力的一个例证，孔多塞(N.C.deCondorcet)谈到，欧拉的两个学生对一个复杂的收敛级数(就 变量的一个特定值)做前17 项的求和，结果只是在第50 位上相差一个单位数。为了判定哪个 对，欧拉使整个心算了一遍，人们肯定他的答案是正确的。这种能力现在帮助了欧拉，使他 少受失明之苦。但即使如此，他失明17 年间有一个成就也是令人难以置信的。这就是月球运 行的理论－－唯一的一个使牛顿都感到头疼的问题－－在欧拉手里第一次得到透彻的研究。 整个复杂的分析过程完全是在他的头脑中进行的。 欧拉回到圣彼得堡五年后，又一场灾 难落到他的头上。在1771 年的大火中，他的房子及全部家具都烧掉了。只是靠了瑞士仆人彼 得．格里姆的英勇，欧拉才幸免于难。

格里姆冒着生命危险把有病的盲主人从大火中数了出 来。藏书烧了，多亏奥尔洛夫伯爵，欧拉的全部手稿得以保全。叶卡捷琳娜女皇立即补偿了 欧拉的全部损失，他很快又投入了工作。 1776 年(即他69 岁时)欧拉遭受了更大的损失， 他的妻子死了。第二年，他再次结婚。第二个妻子，萨洛姆．艾比格尔，格塞尔 (SalomeAbigailGsell)是第一个妻子的异母姊妹。他的最大不幸是恢复左眼视力手术的失败 (可能是由于外科医师的疏忽)，那本来是唯一有点儿希望的眼睛。手术是"成功的"，欧拉高 兴了一阵子。但是不久感染就开始了，经过一段他描述为"可怕的"痛苦之后，他又重新坠入 了黑暗之中。 回过头来浏览一下欧拉浩繁的著作。初看起来，我们可能倾向于认为任何 有才华的人都能差不多像欧拉一样容易地做出它的大部分。可是比照数学在今天的情况做一 番考察，很快就会纠正我们的错误想法。考虑到现在供我们使用的方法的力量，那么目前数 学各种理论一团乱麻般的状态就丝毫不比欧拉面对的更为复杂。对今天的欧拉式人物来说， 数学是已经成熟的。欧拉在他那个时代，运用分析方法的力量奠定基础，整理有价值的东西， 从而系统化和统一了被局部成果和孤立法则弄乱了的广大领域。

直到今天，大学里数学课教 的许多东西实际上还是欧拉留下的。例如，以一般的二次方程所作的三维空间中圆锥曲线和 二次曲面的表述就是欧拉所留下的。还有年金问题及由此派生的各种问题(保险费，养老金等 等)也是由欧拉的研究而成为现在"投资数学理论"学生所熟悉的这种样子的。 正如阿拉 戈所指出的，欧拉的伟大和他作为一名教师以著作获得直接成功的一个根源，在于他毫不妄 自尊大。如果为了澄清较早、较重要的著作需要某些内在价值较低的作品，欧拉也毫不犹豫 地去写。他毫不顾虑降低自己的声望。 即使在富有创造性的工作中，欧拉也把发现与教 育结合起来。他在 1748 年、1755 1768-1770年写的关于微积分的伟大论文 (Introductioinanalysininfinitorum,( 【Methodusinveniendilineascurvasmaximiminimiveproprietategaudentes,(寻求具有某种极大或极小性质的曲线的技巧),1744 年】中，欧拉第一次显示出自己是个第一流的数学家。 我们已提到过，欧拉在把力学分析化时，他向前跨进了一大步。学习刚体动力学的每个学生 都熟悉欧拉的转动分析，并引用他的这一贡献(有一个细节除外)。

分析力学是纯粹数学的一 个分支，因而欧拉在这里不像在别的某些接近实际的科目里那样有一飞上纯计算的广阔天空 便离题万里的风险。欧拉同时代人对他工作的最尖锐批评是针对他仅仅为了漂亮分析的需要， 而不控制进行计算的冲动。他有时可能缺乏对物理形态的足够理解，不管是什么问题，都试 图变成计算。不过，当问题值得他下苦功时，他还是足够实际的。今天流体动力学中应用的 流体运动基本方程就是欧拉建立的。 欧拉的分析学有一个特殊内容应该顺便提一下，因 为19 世纪数学的主流之一在很大程度上是由它引起的。这就是他发现，除非一个无穷级数收 敛，否则使用起来就不可靠。例如，由长除法，我们可以得到一个无限延续的级数： 这里取X=1/2， 则-2＝2+22+23+24+..... 收敛性的研究会告诉我们如何避免这样 的荒谬结果。奇怪的是，虽然欧拉认识到了涉及无穷级数时小心从事的必要性，但在他自己 的许多著作中也并没能信守这一条。他对分析学的信念又是那样坚定，以至他有时只好寻找 荒唐的"解释"来使那些特有的谬误过关。 但是在请到这些事情的时候，我们必须说明， 就欧拉所做出的大量头等重要的崭新而正确的成果而言，很少有人赶上或接近他。

爱好算术 －－也许这不是一个很"重要"的科目－－的人们会赞成给欧拉戴一枝丢番图分析的棕榈，像 给费马(Fermat)和丢番图本人戴过的一样大小、一样新鲜。欧拉是第一流的、也许是最大的 数学万能主义者。 欧拉也不仅仅是个数学家。在文学和自然科学的各个学科，包括生物 学界，他都至少是个知名的作者。然而，就是当他欣赏(埃涅阿斯纪)的时候，也禁不住要找 出一个问题来施展他的数学才能。"铁锚投下去，奔腾的龙骨停下来"这一行吸引他动手算出 了这种条件下的船体运动。欧拉博览群书，甚至一度涉猎星占学，但是看得出来，他并没有 接受它。当1740 年要他用占星术为伊凡大公算命的时候，他推说占星术是宫廷天文学家的事 而婉言拒绝了。可怜的天文学家则不得不做那件事。 有一个柏林时期的作品显示出欧拉 是个文辞优美(虽然有点过分虔奉宗教)的作家。他为了向腓特烈的侄女，安哈尔特-德始公主 介绍力学、物理光学、天文学、声学等课程，为了颇受赞誉的(致一位德国公主的信)。这些 著名的信流传很广，被印成了7 种文字的单行本。这也说明，公众对科学的兴趣并不是新近 才增长起来的，只是有时我们倾向于那样想像罢了。 欧拉始终保持着充沛的精力和清醒 的头脑，直到临死的那一秒钟。

那是在1783 月18日，他77 岁的时候。这天下午他当作 消遣地推算了气球升高的定律－－照例是在他的石板上。尔后，与雷克塞尔和家人吃了晚饭。 "赫歇耳的行星"(天王星)那时刚刚被发现，欧拉写出了他对这个行星轨道的计算。过了一会 儿，他让他的孙子进来。就在喝着茶跟孩子玩的时候，他中风发作。手中烟斗掉了，只说出 一句话"我要死了","欧拉便停止了生命和计算。" 编辑本段成就 欧拉和丹尼尔伯努利一起，建立了弹性体的力矩定律：作用在弹性细长杆上的力矩正 比于物质的弹性和通过质心轴和垂直于两者的截面的惯性动量。 他还直接从牛顿运动定 律出发，建立了流体力学里的欧拉方程。这些方程组在形式上等价于粘度为0 的纳维-斯托克 斯方程。人们对这些方程的主要兴趣在于它们能被用来研究冲击波。 他对微分方程理论 作出了重要贡献。他还是欧拉近似法的创始人，这些计算法被用于计算力学中。此中最有名 的被称为欧拉方法。 在数论里他引入了欧拉函数。 自然数的欧拉函数被定义为小 于并且与互质的自然数的个数。例如，，因为有四个自然数1，3，5 计算机领域中广泛使用的RSA公钥密码算法也正是以欧拉函数为基础的。 在分析领域， 是欧拉综合了莱布尼兹的微分与牛顿的流数。

他在1735 年由于解决了长期悬而未决的 贝塞尔问题而获得名声： :其中是黎曼函数。 欧拉将虚数的幂定义为如下公式:这 就是欧拉公式，它成为指数函数的中心。 在初等分析中，从本质上来说，要么是指数函 数的变种，要么是多项式，两者必居其一。被理查德费曼称为“最卓越的数学公'”的则是 欧拉公式的一个简单推论（通常被称为欧拉恒等式）： :在1735 年，他定义了微分方程 中有用的欧拉-马歇罗尼常数： :他是欧拉-马歇罗尼公式的发现者之一，这一公式在计 算难于计算的积分、求和与级数的时候极为有效。 在1739 年，欧拉写下了《音乐新理 论的尝试(Tentamennovaetheoriaemusicae)》，书中试图把数学和音乐结合起来。 一位 传记作家写道：这是一部"为精通数学的音乐家和精通音乐的数学家而写的"著作。 济学方面，欧拉证明，如果产品的每个要素正好用于支付它自身的边际产量，在规模报酬不变的情形下，总收入和产出将完全耗尽。 在几何学和代数拓扑学方面，欧拉公式给出了 单联通多面体的边、顶点和-(zh-hans:面;zh-hant:面)-之间存在的关系：: 其中，F 给定多面体的面数之和，E为边数之和，V 为顶点数之和。

这个定理也可用于平面图。 对非平面图，欧拉公式可以推广为：如果一个图可以被嵌入一个流形，则：:其中χ 为此流形 的欧拉特征值，在流形的连续变形下是不变量。 单联通流形，例如球面或平面，的欧拉 特征值是2。 对任意的平面图，欧拉公式可以推广为：，其中为图中连通分支数。 1736年，欧拉解决了柯尼斯堡七桥问题，并且发表了论文《关于位置几何问题的解法 (Solutioproblematisadgeometriamsituspertinentis)》，对一笔画问题进行了阐述，是最早 运用图论和拓扑学的典范。 数独是欧拉发明的拉丁方块的概念,在当时并不流行,直到 20 世纪由平凡日本上班族锻治真起,带起流行 最有影响的100 编辑本段评价欧拉是18 世纪最优秀的数学家，也是历史上最伟大的数学家之一。十八世纪瑞士数学家 和物理学家伦哈特欧拉始终是世界最杰出的科学家之一。他的全部创造在整个物理学和许 多工程领域里都有着广泛的应用。 欧拉的数学和科学成果简直多得令人难以相信。他写了三 十二部足本著作，其中有几部不止一卷，还写下了许许多多富有创造性的数学和科学论文。 总计起来，他的科学论著有七十多卷。

欧拉的天才使纯数学和应用数学的每一个领域都得到 了充实，他的数学物理成果有着无限广阔的应用领域。 早在上一个世纪，艾萨克牛顿 就提出了力学的基本定律。欧拉特别擅长论证如何把这些定律运用到一些常见的物理现象中。 例如，他把牛顿定律运用到流体运动，建立了流体力学方程。同样他通过认真分析刚体的可 能运动并应用牛顿定律建立了一个可以完全确定刚体运动的方程组。当然在实际中没有物体 是完全刚体。欧拉对弹性力学也做出了贡献，弹性力学是研究在外力的作用下固体怎样发生 形变的学说。 欧拉的天才还在于他用数学来分析天文学问题，特别是三体问题，即太阳、 月亮和地球在相互引力作用下怎样运动的问题。这个问题二十一世纪仍要面临的一个问 题尚未得到完全解决。顺便提一下，欧拉是十八世纪独一无二的杰出科学家。他支持光 波学说，结果证明他是正确的。 欧拉丰富的头脑常常为他人做出成名的发现开拓前进的 道路。例如，法国数学家和物理学家约瑟夫路易斯拉格朗日创建一方程组，叫做“拉格 朗日方程”。此方程在理论上非常重要，而且可以用来解决许多力学问题。但是由于基本方程 是由欧拉首先提出的，因而通常称为欧拉—拉格朗日方程。一般认为另一名法国数学家琼巴 普蒂斯特傅里叶创造了一种重要的数学方法，叫做傅里叶分析法，其基本方程也是由伦哈 特欧拉最初创立的，因而叫做欧拉—傅里时方程。

这套方程在物理学的许多不同的领域都 有着广泛的应用，其中包括声学和电磁学。 在数学方面他对微积分的两个领域微分 方程和无穷级数特别感兴趣。他在这两方面做出了非常重要的贡献，但是由于专业性太 强不便在此加以叙述。他对变分学和复数学的贡献为后来所取得的一切成就奠定了基础。这 两个学科除了对纯数学有重要的意义外，还在科学工作中有着广泛的应用。欧拉公式 eiQ＝ cosθ isinθ表明了三角函数和虚数之间的关系，可以用来求负数的对数，是所有数学领 域中应用最广泛的公式之一。欧拉还编写了一本解析几何的教科书，对微分几何和普通几何 做出了有意义的贡献。 欧拉不仅在做可应用于科学的数学发明上得心应手，而且在纯数 学领域也具备几乎同样杰出的才能。但是他对数论做出的许多贡献非常深奥难懂，不宜在此 叙述。欧拉也是数学的一个分支拓扑学领域的先驱，拓扑学在二十世纪已经变得非常重要。 最后要提到的一点也很重要，欧拉对目前使用的数学符号制做出了重要的贡献。例如，常用 的希腊字母π 代表圆周率就是他提出来的。他还引出许多其它简便的符号，现在的数学中经 常使用这些符号。 欧拉于1707 年出生在瑞士巴塞尔。1720 他十三岁时就考入了巴塞尔 大学，起初他学习神学，不久改学数学。

他十七岁在巴塞尔大学获得硕士学位，二十岁受凯 瑟林一世的邀请加入圣彼得斯堡科学院。他二十三岁成为该院物理学教授，二十六岁就接任 著名数学家但尼尔伯努利的职务，成为数学所所长。两年后，他有一只眼睛失明，但仍以 极大的热情继续工作，写出了许多杰出的论文。 1741 年普鲁士弗雷德里克大帝把欧拉 从俄国引诱出来，让他加入了柏林科学院。他在柏林呆了二十五年后于1766 年返回俄国。不 久他的另一只眼睛也失去了光明。即使这样的灾祸降临，他也没有停止研究工作。欧拉具有 惊人的心算才能，他不断地发表第一流的数学论文，直到生命的最后一息。1783 得斯堡去逝，终年七十六岁。欧拉结过两次婚，有十三个孩子，但是其中有八个在襁褓中就死去了。 即使没有欧拉其人，他的一切发现最终也会有人做出。但是我认为做为衡量这 种情况的尺度应该提出这样的问题：要是根本就没有人能做出他的发现，科学和现代世界会 有什么不同呢？就伦哈特欧拉的情况而言，答案看来很明确：假如没有欧拉的公式、方程 和方法，现代科学技术的进展就会滞后不前，实际上看来是不可想象的。浏览一下数学和物 理教科书的索引就会找到如下查照：欧拉角（刚体运动）、欧拉常数（无穷级数）、欧拉方程 （流体动力学）、欧拉公式（复合变量）、欧拉数（无穷级数）、欧拉多角曲线（微分方程）、 欧拉齐性函数定理摘微分方程）、欧拉变换（无穷级数）、伯努利—欧拉定律（弹性力学）、欧 拉—傅里叶公式（三角函数）、欧拉—拉格朗日方程（变分学，力学）以及欧拉一马克劳林公 式（数字法），这里举的仅仅是最重要的例子。

从所有这一切来看，读者可能要问为什 么在本书中没有把欧拉的名次排得更高些，其主要原因在于虽然欧拉在论证如何应用牛顿定 律方面获得了杰出的成就，但是他自己从未发现任何独创的科学定律，这就是为什么要把威 廉康拉德，伦琴和格雷戈尔孟德尔这样的人物排在他前面的原因。他们每个人主要是发 现了新的科学现象或定律。尽管如此，欧拉对科学、工程学和数学的贡献还是巨大的。 编辑本段以欧拉之名 欧拉公式 欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。其中最著名的有，复变函数中的欧拉幅角公式-- 将复数、指数函数与三角函数联系起来； 拓扑学中的欧拉多面体公式；初等数论中的欧拉函 数公式。 此外还包括其他一些欧拉公式，比如分式公式等等 欧拉函数 欧拉函数，在数论，对正整数n，欧拉函数是少于或等于n 互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler's totient function、φ 函数、欧拉商数 例如φ(8)=4，因为1,3,5,7 互质。从欧拉函数引伸出来在环论方面的事实和拉 格朗日定理构成了欧拉定理的证明。 欧拉定理 在数学及许多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常数、公式和定理。在数论中，欧拉 定理（Euler Theorem，也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理）是一个关于同余的性质。欧拉 定理得名于瑞士数学家莱昂哈德欧拉，该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一。欧 拉定理实际上是费马小定理的推广。此外还有平面几何中的欧拉定理、多面体欧拉定理(在一