勾股定理公式大全 正余弦定理详细资料大全

正余弦定理详细资料大全  

正余弦定理指正弦定理和余弦定理，是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决三角形的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

基本介绍

中文名：正余弦定理外文名：The Law of Sines/The Law of Cosines别称：The Sine Law/The Cosine Law表达式： 提出者：韦达/海伦/秦九韶/欧几里得提出时间：10世纪/西元三世纪前套用学科：数学 物理适用领域范围：平面几何 立体几何适用领域范围：平面三角形解析 正弦定理,概述,证明,余弦定理,概述,性质,证明,平面几何证法,

正弦定理

概述

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 正弦定理(Sine theorem) （1）已知三角形的两角与一边，解三角形 （2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形 （3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系 直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。

证明

步骤1 在锐角△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c。作CH⊥AB垂足为点H CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到 a/sinA=b/sinB 同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC 余弦 步骤2. 证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O. 作直径BD交⊙O于D. 连线DA. 因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90度 因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等，所以∠D等于∠C. 所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。

余弦定理

概述

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。 直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值

性质

对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质—— S△ABC=1/2absinC S△ABC=1/2bcsinA S△ABC=1/2acsinB （物理力学方面的平行四边形定则中也会用到） 第一余弦定理（任意三角形射影定理） 设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有 a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A。

证明

平面向量证法 ∵如图，有 a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小） ∴ c·c=(a+b)·(a+b) ∴ c2=a·a+2a·b+b·b∴c2=a2+b2+2|a||b| Cos(π-θ) （以上粗体字元表示向量） 又∵ Cos(π-θ)=-Cosθ ∴c 2=a 2+b 2-2|a||b| Cosθ（注意：这里用到了三角函式公式）再拆开，得c 2=a 2+b 2-2ab cosC 即 cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b 同理可证其他，而下面的 cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将 cosC移到左边表示一下。

平面几何证法

在任意△ABC中 做AD⊥BC. ∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得： AC 2=AD 2+DC 2 b 2=(sinB c) 2+(a-cosB c) 2 b 2=(sinB*c) 2+a 2-2ac cosB+(cosB) 2c 2 b 2=(sin 2B+cos 2B) c 2-2ac cosB+a 2 b 2=c 2+a 2-2ac cosB cosB=(c 2+a 2-b 2)/2ac