三角函数余弦定理 四边形余弦定理详细资料大全

四边形余弦定理详细资料大全  

四边形余弦定理是由三角形余弦定理推广得到的定理

cosθ=(a^2+c^2-b^2-d^2)/2AC*BD

基本介绍

中文名：四边形余弦定理提出者：布瑞须赖德尔套用学科：数学结论：托勒密不等式来源：三角形余弦定理 提出,内容,证明,

提出

四边形的余弦定理是由布瑞须赖德尔( Bretschnelder,1808-1878)发现的。 由四边形的余弦定理，立即得到托勒密不等式: a*c+b*d≥m*n

内容

四边形的余弦定理：: 设四边形ABCD的边长为AB=a,BC=b,CD=c,DA=d，对角线为m,n。 则 (m·n)^2=(ac)^2+(bd)^2-2abcd·cos(A+C)①

证明

证明： 在AB,AD边上向外作△AKB∽△CDA, △ADM∽△CAB, 则有 AK=ac/m,AM= bd/m,KB=DM=ad/m。 因为 ∠KBD+∠MDB=∠CAD+∠ABD+∠BDA+∠CAB=180° 所以KB∥DM，四边形KBDM是平行四边形，KM=BD=n。 在△AKM中，由余弦定理得: n^2=(ac/m)^2+(bd/m)^2-2(ac/m)×(bd/m)×cos(A+C) ② 对式②进行变形： n^2=[ac^2×（1/m）^2]+[bd^2×（1/m）^2]-2[ac×（1/m）]×[bd×（1/m）]×cos（A+C） 两边同时乘以 m^2： n^2×m^2=[（ac）^2×（1/m）^2]×m^2+[（bd）^2×（1/m）^2]×m^2-2[ac×（1/m）]×[bd×（1/m）]×cos（A+C）×m^2 (mn)^2=（ac）^2+（bd）^2-2·ac·bd·cos（A+C） (mn)^2=（ac）^2+（bd）^2-2abcd·cos（A+C） 上式即为式①，即证。