空集包含于空集 空集详细资料大全

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空集是指不含任何元素的集合。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。空集不是无；它是内部没有元素的集合。

可以将集合想像成一个装有元素的袋子，而空集的袋子是空的，但袋子本身确实是存在的。

基本介绍

中文名：空集外文名：empty set基本释义：不含任何元素的集合符号：Ø归属学科：数学所属：集合论Latex表示：varnothing  定义,表示方法,空集举例,性质,公理集合论,空集和零,范畴论,

定义

空集是指不含任何元素的集合。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

表示方法

用符号Ø或者{ }表示。 注意：{Ø}是有一个Ø元素的集合，而不是空集。 在LaTeX中空集表示代码 emptyset 。 0是一个数，不是集合。 {0}是一个集合，集合只有0这个元素。 Ø是一个集合，但是不含任何元素。 {Ø}是一个非空集合，集合只有空集这个元素。

空集举例

当两圆相离时，它们的公共点所组成的集合就是空集； 当一元二次方程的根的判别式值△<0时，它的实数根所组成的集合也是空集。

性质

对任意集合 A，空集是 A 的子集：∀A：Ø ⊆ A； 对任意集合 A，空集和 A 的并集为 A：∀A：A ∪ Ø = A； 对任意非空集合 A，空集是 A的真子集：∀A,，，若A≠Ø，则Ø 真包含于 A。 对任意集合 A，空集和 A 的交集为空集：∀A，A ∩ Ø = Ø； 对任意集合 A，空集和 A 的笛卡尔积为空集：∀A，A × Ø = Ø； 空集的唯一子集是空集本身：∀A，若 A ⊆ Ø ⊆ A，则 A= Ø；∀A，若A= Ø，则A ⊆ Ø ⊆ A。 空集的元素个数（即它的势）为零； 特别的，空集是有限的：| Ø | = 0； 对于全集，空集的补集为全集：C UØ=U。 集合论中，若两个集合有相同的元素，则它们相等。那么，所有的空集都是相等的，即空集是唯一的。 考虑到空集是实数线（或任意拓扑空间）的子集，空集既是开集、又是闭集。空集的边界点集合是空集，是它的子集，因此空集是闭集。空集的内点集合也是空集，是它的子集，因此空集是开集。另外，因为所有的有限集合是紧致的，所以空集是紧致集合，。 空集的闭包是空集。

公理集合论

在诸如策梅罗-弗兰克尔集合论的公理集合论中，空集的存在性是由空集公理确定的。空集的唯一性由外延公理得出。 使用分离公理，任何陈述集合存在性的公理将隐含空集公理。例如：若 A 是集合，则分离公理允许构造集合 ，它就可以被定义为空集。

空集和零

根据定义，空集有 0 个元素，或者称其势为 0。然而，这两者的关系可能更进一步：在标准的自然数的集合论定义中，0 被定义为空集。实数0与空集是两个不同的概念，不能把0或{0}与Ø混为一谈。

范畴论

若A为集合，则恰好存在从{ }到A的函式f，即空函式。结果，空集是集合和函式的范畴的唯一初始对象。 空集只能通过一种方式转变为拓扑空间，即通过定义空集为开集；这个空拓扑空间是有连续映射的拓扑空间的范畴的唯一初始对象。 空集是任何非空集合的真子集。Ø只有一个子集，没有真子集。{Ø}有两个子集，一个是Ø一个是它本身 定义：不含任何元素的集合称为空集。 空集是任何集合的子集，但把空集说成是任何集合的真子集就不确切。 关于补集，补集的概念是相对而言的，集合A在不同的全集中的补集是不同的，所以在描述补集概念时，一定要注明。集合A中子集B的补集或余集记为C AB ，简单的说集合A的补集是没有意义的。 属于符号“∈ ”、不属于符号“∉”，它们只能用在元素与集合符号之间；包含于（被包含）符号“⊆ ”、包含符号“⊇”，它们只能用在两个集合符号之间。 如，{0}是含有一个元素的集合，Ø是不含任何元素的集合，因此，有Ø⊆{0}，不能写成Ø={0} 或Ø∈{0}。