在等腰三角形abc中ab等于ac 如图所示,三角形ABC中AB=AC,以AC为直径的半圆O交AB，BC于D，E，连接DC、∠ACD=40°

如图所示,三角形ABC中AB=AC,以AC为直径的半圆O交AB，BC于D，E，连接DC、∠ACD=40°  

如图所示,三角形ABC中AB=AC,以AC为直径的半圆O交AB，BC于D，E，连接DC、∠ACD=40°

(1)连接AE。则在半圆O中，AC是直径，那么角AEC=90度、ADC=90度；
也就是说AE垂直BC
因为AB=AC
在等腰三角形ABC中，底边上的高也是底边的中垂线
所以E是BC的中点。
(2)直角三角形ACD中，角A=90-40=50度
等腰三角形ABC中，角B=1/2*（180-50）=65度
(3)因为第一问能求出E为弧CD中点，角BAC=1/2弧CD,角DOE=弧DE，所以角BAC=DOE,又因为DO=EO=1/2AB=1/2AC,能证明三角形abc相似于三角形ode，所以DE=1/2BC

如图所示,三角形abc中,bc=4,以bc为直径的半圆交ab于点d 交ac于点e bd=2

解：
连接CD，BE
BC是直径，
所以BE⊥AC，CD⊥AB
CE=2 √2,BC=4
cosC=CE/BC=√2/2
∠C=45°
cosB=BD/BC=2/4=1/2
∠B=60°
∠A=180°-45°-60°=75°

如图,在三角形ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆O交AC于点E,交BC于点D

1）连AD,
因为AB是直径
所以AD⊥BC
因为AB=AC
所以D是BC的中点（三线合一）
2）因为AB是直径
所以∠BEA=90,
所以∠BEC=∠ADC,
又∠ACB是公共角
所以 三角形BEC相似三角形ADC
3)由上 三角形BEC相似三角形ADC
，得，
BC/AC=CE/CD
即BC*CD=AC*CE
因为AB=AC,所以BC*CD=AB*CE
因为CD=BC/2
所以BC*(BC/2)=AB*CE
即BC*BC=2*AB*CE

如图所示，在三角形ABC中，AB等于AC，以AB为直径的园O交BC于点P，PD垂直AC于点D

﹙1﹚连接OP∵∠ABC＝∠ACP ∠ABC＝∠OPB∴∠OPB＝∠ACB AC∥OP∵PD⊥AC∴PD⊥OP∴PD为圆O的切线﹙2﹚∠BAC=120 ∴∠ACB=∠ABC=30连接AP,在RT⊿APB中 AB=2 ∠ABC＝30∴BP=根号3 P为BC的中点 ∴BC=2根号3

如图所示,△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,以AB为直径的○O交AC于点E,点D是BC的中点

晕啊，这是个伪命题啊，你是不是题目没说完啊，你自己一画就知道了，你将BC画成AB的3倍以上，你会很明显的看到DE根本不切于圆（直接穿圆而过），你的题目不就是求证DE垂直AD吗？可是题目好像出掉了条件吧，很明显无法证明的。

已知三角形ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆交BC于D,交AC 于E。

证明：连接AD
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°
∵AB=AC
∴BD=BC，∠BAD=∠DAE
∴弧BD=弧DE
∴BD=DE
∴BD=DC=DE

如图，在三角形ABC中，∠C=60，以AB为直径的半圆O分别与AC边，BC边交于点D,E

O为AB中点.OA=OB=OD=OE=R,所以∠OAD=∠ADO,∠OBE=∠BEO,又∠C=60°,所以∠OAD+∠OBE=120°,所以∠ADO+∠BEO=120°,∠BED+∠ADE=240°,所以∠OED+∠ODE=120°.
又因为OD=OE,所以∠OED=∠ODE=60°,所以∠DOE=60°.所以三角形ODE是等边三角形

如图，在三角形ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆O分别交BC、AC于点D、E,连接EB交OD于点F。 求证：OD⊥BE;

（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABE=90°．
（2）利用已知条件证得∴△AGC∽△BFA，利用比例式求得线段的长即可．
解答：（1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠1+∠2=90°．(∠1=∠EAB,．∠2=∠ABE)
∵AB=AC，
∴∠1= 1/2∠CAB．
∵∠CBF= 1/2∠CAB，
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线．
（2）解：过点C作CG⊥AB于点G．
∵sin∠CBF= √5/5，∠1=∠CBF，
∴sin∠1= √5/5
∵∠AEB=90°，AB=5，
∴BE=AB•sin∠1= √5，
∵AB=AC，∠AEB=90°，
∴BC=2BE=2 √5，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=2√ 5，
∴sin∠2= 2√5/5，cos∠2= √5/5，
在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，
∴AG=3，
∵GC∥BF，
∴△AGC∽△ABF，
∴ GC/BF=AG/AB
∴BF= GC•AB/AG= 20/3

如图所示，等腰三角形ABC的顶角为50°，AB=AC,以AB为直径做半圆O交BC于D,交AC于E,求弧BD,弧DE和弧AE的度数

∵AO=BO=DO=EO
∴∠BOD=∠A=50°
∠AEO=∠A=50°
∠AOE=180°-50°×2=80°
∠DOE=180°-80°-50°=50°
∴弧BD、弧DE、弧AE的度数分别是50°、50°、80°

如图所示,在三角形ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆O交BC于点M，MN⊥AC于点N 若∠BAC=120°，AB=2，求阴影部分

连接AD
∵AB=AC ∠BAC=120°
∴∠B=∠C=30
∵AB为直径=2
∴∠ADB=90
又∵∠B=30
∴AD=1
∵∠C=30 ∠ADC=90 AD=1
∴DC=根号3
∵AD⊥BC
∴AD=CD=根号3
∵DE⊥AC ∠C=30 DC=根号3
∴DE=(根号3)/2 DC=1.5
∴AE=0.5
S扇形ABD=30*π*2²/360=π/3
S△ADB=1*根号3/2=（根号3）/2
∴S扇形AD=π/3-（根号3）/2
S△ADE=（根号3）/2*0.5/2=根号3 /8
∴S阴影=（15根号3-8π）/24