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外积一般指两个向量的向量积；或在几何代数中，指有类似势的运算如楔积。这些运算的势是笛卡尔积的势。这个名字与内积相对，它是有相反次序的积。这里写的是外积，但是下面的写的是矢量积。

基本介绍

中文名：外积外文名：Outer product别称：矢量积符号表示：a×b大小：|a|·|b|·sin<a,b>.套用学科：数学 描述,定义,分配律,分配律证明,二重向量外积,抽象定义,

描述

定义

把向量外积定义为： 符号表示： a×b大小：|a|·|b|·sin<a,b>. 方向：右手定则：若坐标系是满足右手定则的，设 z=x×y,|z|=|x||y|*sin<x,y>；则x,y,z构成右手系，伸开右手手掌，四个手指从x轴正方向方向转到y轴正方面，则大拇指方向即为z正轴方向。 外积的坐标表示： (x 1,y 1,z 1)×(x 2,y 2,z 2)=(y 1z 2-y 2z 1,z 1x 2-z 2x 1,x 1y 2-x 2y 1)

分配律

a× ( b+c)= a ×b+a×c 分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。 下面给出代数方法。我们假定已经知道了： 1）外积的反对称性： a×b= - b×a. 这由外积的定义是显然的。 2）内积（即数积、点积）的分配律： a·（b+c) = a·b+a·c, （ a+b）·c=a·c+b·c. 这由内积的定义 a·b= | a|·|b|·cos<a,b>；，用投影的方法不难得到证明。 3）混合积的性质： 定义（ a×b）·c为矢量a,b,c的混合积，容易证明： i) ( a×b）·c的绝对值正是以a,b,c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由a,b,c的定向决定（右手系为正，左手系为负）。外积 简单证明：体积V=底面积S×高h =| a×b|×|h| =| a×b|×|c|×(c·h)/(|c||h|) =| a×b|×(c·h)/|h| 而| h|=|a×b| 所以 V= c·h=c·(a×b） 从而就推出： ii) ( a×b）·c=a·（b×c) 所以我们可以记 a,b,c的混合积为（a,b,c). 由i）还可以推出： iii) ( a,b,c) = ( b,c,a) = ( c,a,b) 我们还有下面的一条显然的结论： iv) 若一个矢量 a同时垂直于三个不共面矢a1,a2,a3，则a必为零矢量。

分配律证明

下面我们就用上面的1）2）3）来证明外积的分配律。 设 r为空间任意矢量，在r·(a×(b+c))里，交替两次利用3）的ii）、iii）和数积分配律2），就有r·(a×(b+c)) = ( r×a)·(b+c) = ( r×a)·b+ ( r×a)·c=r·(a×b) + r·(a×c) = r·(a×b+a×c) 移项，再利用数积分配律，得 r·（a×（b+c) - ( a×b+a×c)) = 0 这说明矢量 a×（b+c) - ( a×b+a×c)垂直于任意一个矢量。按3）的iv），这个矢量必为零矢量，即a×（b+c) - ( a×b+a×c) = 0 所以有 a×（b+c) = a×b+a×c. 证毕。

二重向量外积

向量二重外积公式：a × ( b×c )=b(a·c) − c(a·b)

抽象定义

给定向量和余向量，张量积 给出映射 ，在同构 之下。 具体的说，给定 ， 这里的 是 在 w上的求值，它生成一个标量，接着乘 v。 可作为替代，它是 与 的复合。 如果 ，则还可以配对 ，这是内积。