Dx怎么计算 计算二重积分：∫∫（D）ln(1+x^2+y^2)dxdy,其中D是由圆周x^2+y^2=1及座标轴所围的在第一象限内的闭区域

计算二重积分：∫∫（D）ln(1+x^2+y^2)dxdy,其中D是由圆周x^2+y^2=1及座标轴所围的在第一象限内的闭区域  

计算二重积分：∫∫（D）ln(1+x^2+y^2)dxdy,其中D是由圆周x^2+y^2=1及座标轴所围的在第一象限内的闭区域

极座标
∫∫（D）ln(1+x²+y²)dxdy
=∫∫（D）rln(1+r²)drdθ
=∫[0→2π]dθ∫[0→1] rln(1+r²)dr
=2π∫[0→1] rln(1+r²)dr
=π∫[0→1] ln(1+r²)d(r²)
=πr²ln(1+r²)-2π∫[0→1] r³/(1+r²)dr
=πr²ln(1+r²)-2π∫[0→1] (r³+r-r)/(1+r²)dr
=πr²ln(1+r²)-2π∫[0→1] rdr+2π∫[0→1] r/(1+r²)dr
=πr²ln(1+r²)-πr²+π∫[0→1] 1/(1+r²)d(r²)
=πr²ln(1+r²)-πr²+πln(1+r²) |[0→1]
=πln2-π+πln2
=π(2ln2-1)
做错了，当作整圆做的了。 结果再除以4

求一道二重积分：计算∫∫√(1+x^2+y^2)dxdy,其中D是由圆周x^2+y^2=4及座标轴所围成的在第一象限内

极座标系 D：0≤θ≤π/2 , 0 ≤p≤2
∫∫√(1+x²+y²)dxdy = ∫[0,π/2] dθ ∫[0,2] √(1+p²) p dp
= π/2 * (1/3) (1+p²)^(3/2) |[0,2]
= (π/6) * (5√5 -1)

计算∫∫Dx√(^2+y^2)dxdy,其中D是由圆周a<=x^2+y^2<=b及座标轴在第一象限内

∫_D x√(x² + y²) dxdy
= ∫(0→π/2) dθ ∫(√a→√b) rcosθ · r · rdr
= ∫(0→π/2) cosθ dθ ∫(√a→√b) r³ dr
= (1/4)(b² - a²) · ∫(0→π/2) cosθ dθ
= (1/4)(b² - a²) · 1
= (b² - a²)/4

计算二重积分∫∫(D)x√(y)dxdy ,其中求D是x^2+y^2≤4在第一象限的闭区域.

解：∫∫(D)x√(y)dxdy=∫<0,π/2>dθ∫<0,2>rcosθ√(rsinθ)rdr (作极座标变换)
=[∫<0,π/2>cosθ√(sinθ)dθ][∫<0,2>r^(5/2)dr]
=[∫<0,π/2>√(sinθ)d(sinθ)][∫<0,2>r^(5/2)dr]
=[(2/3)(sin(π/2))^(3/2)][(2/7)*2^(7/2)]
=(2/3)(16√2/7)
=32√2/21。

计算二重积分∫∫（x²+y²）dx,其中D是由y轴及圆周x²+y²=1所围成的在第一象限内的区域

先积x, ∫∫ (x2+y2-y)dxdy =∫[0--->2]dy∫[y/2--->y] (x2+y2-y)dx =∫[0--->2] (1/3x3+xy2-xy) |[y/2--->y]dy =∫[0--->2] (1/3y3+y3-y2-(1/3)(y/2)3-y3/2+y2/2) dy =∫[0--->2] [(19/24)y3-(1/2)y2] dy =[(19/96)y?-(1/6)y3] |[0--->2] =11/6

计算二重积分∫∫(D)（x^2+y^2）dσ,其中D是矩形闭区域：|x|≤1,|y|≤1

这题没什么特殊限制，可以直接转化为累次积分！
∫-1，1∫-1，1（x^2+y^2）dxdy
=∫-1，1[（1/3)x^3+y^2x）|-1,1dy
=
∫-1，1(2/3+2y^2)dy=4/3+8/3=4
若有疑问可以追问！望采纳！尊重他人劳动！谢谢！

解：原式=∫(-1,1)dx∫(-1,1)(x²+y²)dy。
而，∫(-1,1)(x²+y²)dy=(x²y+y³/3)丨(y=-1,1)=2(x²+1/3)，
∴原式=2∫(-1,1)(x²+1/3)dx=8/3。
供参考。

选择适当的座标计算下列二重积分sin(x^2+y^2),其中D是由圆周x^2+y^2=π^2/4所围成的闭区域

楼上最后错了
显然用极座标，因为区域是圆
所以
令
x=rcosθ
y=rsinθ
所以原二重积分
=∫∫sin(r^2)rdrdθ
其区域在极座标下表示为
0<r<π/2 (因为r^2=x^2+y^2<=π^2/4)
0<θ<2π
=∫[0,2π]dθ*∫[0,π/2] sin(r^2)rdr
=2π*(1/2)∫[0,π/2] sin(r^2) d(r^2)
=π(-cos(r^2))|[0,π/2]
=π(-cos(π^2/4)+1)

计算 ∫∫D√(5-x^2-y^2)dxdy,D是由圆x^2+y^2=1，x^2+y^2=4及直线y=x,y=0所包围的在第一象限内的区域。

极座标：
∫∫(D) √(5-x²-y²) dxdy
=∫∫(D) r√(5-r²) drdθ
=∫[0→π/4] dθ∫[1→2] r√(5-r²) dr
=(π/4)∫[1→2] r√(5-r²) dr
=(π/8)∫[1→2] √(5-r²) d(r²)
=-(π/8)(2/3)(5-r²)^(3/2) |[1→2]
=(π/12)(8-1)
=7π/12

希望可以帮到你，如有疑问请追问，如满意请点“选为满意答案”。

求二重积分∫∫xydxdy,其中D是由直线y=x,圆x^2+y^2=1级x轴所围成的在第一象限的闭

本题答案是：5π 。 1、本题的积分方法是： A、选用极座标； B、去除绝对值符号，变成一部分在小圆内进行， 另一部分在圆环内进行，就能得到结果。 2、具体解答如下，如有疑问，欢迎追问，有问必答； 3、若点选放大，图片更加清晰。