desargues定理 莫利定理详细资料大全

莫利定理详细资料大全  

莫利定理（Morley's theorem），也称为莫雷角三分线定理。将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相交得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。

基本介绍

中文名：莫利定理外文名：Morley's theorem分类：数学又名：莫雷角三分线定理属于：几何学三角形：莫利正三角形 内容,证明方法,证法一,证法二,

内容

将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条角三分线相交得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。莫利定理

证明方法

该定理以其美妙和证明困难著称，到目前为止，已经有很多证明方法。

证法一

设△ABC中，AQ,AR,BR,BP,CP,CQ为各角的三等分线，三边长为a,b,c,三内角为3α，3β，3γ，则α+β+γ=60°。 在△ABC中，由正弦定理，得AF=csinβ/sin(α+β)。 不失一般性，△ABC外接圆直径为1，则由正弦定理，知c=sin3γ，所以AF= （sin3γ*sinβ）/sin(60°-γ)=[sinβ*sinγ(3-4sin 2γ)]/[1/2(√3cosγ-sinγ)]= 2sinβsinγ（√3cosγ+sinγ）=4sinβsinγsin（60°+γ）. 同理,AE=4sinβsinγsin(60°+β) ∴AF:AE=[4sinβsinγsin(60°+γ)]：[4sinβsinγsin(60°+β)]=sin(60°+γ):sin(60°+β)=sin∠AEF:sin∠AFE ∴∠AEF=60°+γ,∠AFE=60°+β.同理得，CED=60°+α FED=180°-CED-(AEF-α-γ)=180°-60°-α-60°+α=60 ∴△FED为正三角形。

证法二

∵AE：AC=sinγ：sin（α+γ）， AF：AB=sinβ：sin（α+β） ， AB：AC=sin3γ：sin3β， ∴AE:AF=（ACsinγ/sin（α+γ））：（ABsinβ/sin（α+β））， 而sin3γ：sin3β=（sinγsin(60°+γ)sin(60°-γ) ）：（sinβ sin(60°+β) sin(60°-β) ）， sin（α+β）sin(60°-β)=sin（α+γ）sin(60°-γ)， ∴AE：AF=sin(60°+β)：sin(60°+γ)， ∴在△AEF中，∠AEF=60°+γ， 同理∠CED=60°+α， ∴∠DEF=60°， 同理∠DFE=60°， ∴△DEF为正三角形。