中线定理 最小角定理详细资料大全

最小角定理详细资料大全  

最小角定理（minimum angle theorem）是立体几何的重要定理之一，指与平面斜交的直线与它在该平面内的射影的夹角不大于直线与平面内其他直线的夹角。

基本介绍

中文名：最小角定理外文名：minimum angle theorem所属学科：数学所属问题：立体几何相关定理：三余弦定理（瓜子定理） 定理介绍,定理证明,例题解析,

定理介绍

平面外的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。 （ 为最小角，如图1）。 图1

定理证明

图2 如图，若AB，AO分别是平面a的垂线和斜线，OB是AO在平面a内的射影，∠AOB为锐角，OC是平面a内和OB不重合的任一直线，在OC上截取OD=OB，连结AD，则AB<AD。 在△AOB与△AOD中，因为OA=OA，OB=OD，AB<AD，所以∠AOB<∠AOD。 定理得证。 上述定理是定义“斜线和平面所成的角”这一概念的理论基础。有了上面的性质，就保证了这一概念的定义的合理性。

例题解析

【例1】直线AB与直二面角α-a-β的两个面分别交于A、B两点，且A、B都不在棱a上，设直线AB与平面α和平面β所成的角分别为θ和中，求θ+φ的取值范围。图3解：如图3，作BC⊥a于C， ∵平面α⊥平面β， ∴BC⊥平面α。 ∴∠BAC是AB与平面α所成的角。 即∠BAC=θ。 又从BC⊥平面α可知BC⊥AC。 在Rt△BAC中：θ+∠ABC=90°。 由最小角定理可知:φ≤∠ABC， ∴θ+φ≤90°。 故θ+φ∈(0°，90°]。