虚数i的运算公式 复数运算法则详细资料大全

复数运算法则详细资料大全  

复数运算法则有：加减法、乘除法。两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。复数的加法满足交换律和结合律。此外，复数作为幂和对数的底数、指数、真数时，其运算规则可由欧拉公式e^iθ=cos θ+i sin θ（弧度制）推导而得。

基本介绍

中文名：复数运算法则外文名：Complex algorithm包括：四则运算、幂运算、对数运算相关领域：数学，算数特殊符号：i 加减法,加法法则,减法法则,乘除法,乘法法则,除法法则,对数运算法则,指数运算法则,

加减法

加法法则

复数的加法按照以下规定的法则进行：设z 1=a+bi，z 2=c+di是任意两个复数， 则它们的和是 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。 两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。 复数的加法满足交换律和结合律， 即对任意复数z 1，z 2，z 3，有： z 1+z 2=z 2+z 1；(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)。

减法法则

复数的减法按照以下规定的法则进行：设z 1=a+bi，z 2=c+di是任意两个复数， 则它们的差是 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。 两个复数的差依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的差，它的虚部是原来两个虚部的差。

乘除法

乘法法则

规定复数的乘法按照以下的法则进行： 设z 1=a+bi，z 2=c+di(a、b、c、d∈ R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，展开得: ac+adi+bci+bdi 2，因为i 2=-1，所以结果是(ac－bd)+(bc+ad)i 。两个复数的积仍然是一个复数。 在极坐标下，复数可用模长r与幅角θ表示为(r,θ)。对于复数a+bi,r=√(a 2+b 2)，θ=arctan(b/a)。此时，复数相乘表现为幅角相加，模长相乘。

除法法则

复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商。 运算方法：可以把除法换算成乘法做，在分子分母同时乘上分母的共轭.。所谓共轭你可以理解为加减号的变换，互为共轭的两个复数相乘是个实常数。 除法运算规则： ①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)， 即(a+bi)÷(c+di)=x+yi 分母实数化 ∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i ∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi 由复数相等定义可知 cx-dy=a dx+cy=b 解这个方程组，得 x=(ac+bd)/(c 2+d 2) y=(bc-ad)/(c 2+d 2) 于是有:(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c 2+d 2) +((bc-ad)/(c 2+d 2))i ②利用共轭复数将分母实数化得（见右图）： 点评：①是常规方法；②是利用国中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们国中学习的 的对偶式，它们之积为1是有理数，而(c+di)·(c－di)=c 2+d 2是正实数.所以可以分母实数化。把这种方法叫做分母实数化法。 另外，由上述乘法法则可得另一计算方法，即幅角相减，模长相除。

对数运算法则

对于复数(r,θ)，有ln(r,θ)=ln r+iθ。 其他结论可由换底公式得到。

指数运算法则

由欧拉公式推得复数指数的e a+bi结果仍为复数，其幅角即为复数虚部b，其模长为e a。 对于复底数、实指数幂(r,θ) x，其结果为(r x,θ·x)。 对于复底数、复指数的幂，可用(a+bi) c+di=e ln(a+bi)(c+di)来计算。