能不能把一张正方形的纸片剪成大小各不相同的正方形

大家都知道，要把一张正方形纸片分剪成若干张小正方形纸片是很容易做到的，图1就是人人都能想到的一种剪法。

那么，要把一张正方形纸片分剪成n张相等的小正方形纸片行不行呢？这就不是随便可以回答的了，要看n是什么数才可以确定。例如，当n=时，就不行。一般说来，将原正方形边长m等分以后，可以剪成m²个相等的小正方形。由此可见，只有当n为完全平方数时，才可以把一张正方形纸片分剪成n张相等的小正方形纸片。例如，当n=4时，就是图1的情形，这种图形俗称“田字格”；当n=9时，即为常见的“九宫格”。

如果我们去掉“相等”这个条件，允许出现大小不全相等的正方形，那么剪法就更多种多样了。例如，对图1再“加工”一下，大正方形就被剪成7个大小不全相同的正方形，见图2。将九宫格中的部分小正方形拼成一个稍大的正方形，则大正方形就被剪成6个大小不全相同的正方形，见图3。

现在回到正题上来，能不能把一张正方形的纸片剪成大小各不相同的正方形？

这是一个很有趣而解答起来又十分困难的问题。在很长一段时间内，许多人都认为这个问题的答案是否定的。直到1939年，德国数学家施帕拉格才第一个发现了把一个正方形剪成69个大小各不相同的正方形的方法，使问题有了肯定的答案。

以后，这个问题有了新的进展。1940年，在英国剑桥大学工作的四位数学家布鲁克斯、史密斯、斯通和塔特联名发表了把一个正方形剪成39个大小各不相同的正方形的方法。1967年，英国数学家威尔逊又发表了把一个.正方形剪成25个大小各不相同的正方形的方法。

图4

由于在每一种符合要求的剪法中，被剪出的最小的一个正方形还可以继续被剪下去，因此，一个正方形被剪成大小各不相同的正方形的个数越多越不稀奇，个数越少越珍贵。1978年，荷兰特温脱工科大学的数学教授多杰维斯廷设计了一个巧妙而复杂的计算程序，利用电子计算机找到了把一个正方形剪成21个大小各不相同的正方形的方法，如图4所示，长度单位取原来这个正方形边长的$\frac{1}{{112}}$。由于在此之前，早已有人证明过，要满足“大小各不相同”这个要求的话，剪出来的正方形的个数一定大于20，所以多杰维斯廷的解法是最好的解法了。这件事成为国际数学界轰动一时的新闻。

正方形是个再简单不过的几何图形，想不到其中居然还有这么大的学问。也许有人会问一个类似的问题：能不能把一个立方体的木块剖成大小各不相同的立方体？这个问题早已有人研究清楚了：不能。

最后要特别指出的是：这一将正方形剖成大小各不相同的正方形的研究，推动了本世纪图论的研究和发展。正是由于这个有趣问题的巨大吸引力，使得原本学化学专业的塔特走上研究图论的道路。日后，他成为加拿大滑铁卢大学的终身教授，是当今世界上最著名的图论专家之一。