为什么在铁路转弯处不能将直线形铁轨和圆弧形铁轨直接联接

小斌初中毕业了，爸爸利用假期带他去旅游。小斌第一次坐火车感到很新奇。忽然，小斌说：我看到火车转弯啦，还看见了火车的“尾巴”呐！小斌问爸爸，火车转弯是沿着圆弧行驶的吗？爸爸回答说：是的，但是由于铁路在转弯前是平坦的直线，为了保证行车安全，不能将直线铁轨和圆弧铁轨直接相联接，中间必须用一段缓冲曲线铁轨加以过渡，使铁轨逐步由直线过渡到圆弧。这样在铁路上高速行驶的火车才能平稳地转变方向而不出问题。小斌又问，那么，缓冲曲线是什么呀？为了说清楚这个问题，爸爸一边说一边用纸和笔画了一张图。

设AO为直线铁轨，为圆弧铁轨，就是缓冲曲线铁轨（图1左）。能够起到直线与圆之间缓冲联接作用的曲线有不少，我国一般采用三次抛物线y=kx³为常数）上的一段弧（图1右）来联接直线AO与圆弧，筑路工人师傅也是按照这个形状来铺设铁轨的。

图1

图2

至于为什么可以用三次抛物线y=kx³作为缓冲曲线，这就要从曲线的弯曲程度说起了。

数学上是这样来比较两条曲线的弯曲程度的。在两条曲线C₁及C₂上取长度一样的弧段和，从图2上很容易看出，比<弯曲得厉害。如果我们在弧的端点作切线，切线正方向与弧段的正方向一致（弧段的正方向是指起点到终点的方向，例如A₁是起点B₁是终点，则弧段的正方向就是由A₁到B₁的方向），那么，弧两端点处切线正方向夹角α₁称为弧切线的转角，同样α₂就是弧切线的转角。从图2可以看出α₁＞α₂。这表明，同样长度的两弧段，它们的弯曲程度不同，切线转角也不同：弯曲得厉害的曲线，其切线的转角较大；反之，其切线的转角较小。因此，可以考虑用单位长度弧段上切线转角的大小来衡量弧段的弯曲程度，也就是说弧段的弯曲程度可以用数

$\overline k = \frac{\alpha }{s}$

来近似地衡量。其中，α是弧段切线的转角，s是弧段的长度。s取得越小，$\overline k $所反映的该弧段弯曲程度越精确。有了这样一个衡量曲线弯曲程度的标准，我们就可回过头来考察圆和直线的弯曲情况了。

对于半径为R的圆来说，圆周上任意弧段PQ的切线转角α等于半径OP与OQ之间的夹角（图3），又因为的长s=Rα，所以弧段的弯曲程度为

$\overline k = \frac{\alpha }{s} = \frac{\alpha }{{R\alpha }} = \frac{1}{R}$。

由此可见，圆的弯曲程度处处一样，都是$\overline k = \frac{1}{R}$。

对于直线l（图4）来说，由于直线上任意两点A，B的切线都与直线l重合，且方向一致。所以，从A到B的直线段的切线转角为0，线段$\overline {AB} $的弯曲程度

$\overline k = \frac{\alpha }{s} = \frac{0}{s} = 0$。

这表示直线上任意一段弯曲程度为0，即不发生弯曲。

由于三次抛物线y=kx³由O到B的一段弧（图5）的弯曲程度恰好是由零逐渐连续变化到$\frac{1}{R}$，因此用它来联接直线铁轨和圆弧铁轨，弯曲程度就不致出现突然的变化，从而起到了缓冲的作用。

爸爸告诉小斌要努力学习，将来学习了微积分以后，就能更加清楚地知道选用三次抛物线一段弧作为缓冲曲线的道理了。

图5