为什么在农历中要安排“十九年七闰”

中国古代所用的历法是农历，它纯粹是由月亮围绕地球公转决定的。农历的一个月是“朔望月”，它近似为29.5306天。因为地球绕太阳一周是365.2422天，所以一个公历年中应设置的“农历月”的个数为 $$\frac{365.2422}{29.5306}=12+\frac{10.8750}{29.5306}.$$ 如果每个农历年都设12个月，则产生的误差为$a=10.8750/29.5306\thickapprox0.3682621$。为了吸收这种误差积累，必须在某些农历年中增加一个月，该年称为闰年，增加的那个月称为闰月。

如何插入闰月呢？要先求出$a$的连分数表示式 $$a=\frac{1}{2}_+\frac{1}{1}_+\frac{1}{2}_+\frac{1}{1}_+\frac{1}{1}_+\frac{1}{16}_+\frac{1}{1}_+\frac{1}{5}_+\frac{1}{2}_+\frac{1}{6}_+\frac{1}{2}_+\frac{1}{2}.$$ 它的前六个逐次渐近分数依次为 $$a_1=\frac{1}{2}=0.5，a_2=\frac{1}{3}=0.3333333，a_3=\frac{3}{8}\thickapprox0.375，$$ $$a_4=\frac{4}{11}\thickapprox0.363 636 4，a_5=\frac{7}{19}\thickapprox0.3684211，$$ $$a_6=\frac{116}{315}\thickapprox0.368254.$$ 有$a_2< a_4< a_6 < a < a_5< a_3< a_1$。这说明这些渐近分数从右、左两个方向逐渐逼近$a$的真值。

月相变化示意图

年画《庆春图》。春节是一个农历节日

这些渐近分数依次说明：2年1闰太多，3年1闰太少，8年3闰太多，11年4闰太少，19年7闰太多$\cdots\cdots$但精度在逐渐提高。如果采用315年116闰，当然会更精确一些，但在具体制定时难度很大，所以既比较精确又制定方便的闰法就是“19年7闰”了。

与公历的闰年设置不同，农历中的闰年设置没有简单规律。在19年中怎样规定哪7个年份是闰年呢?它与二十四个节气密切相关，因而使得有些农历年中有两个立春，有的却没有立春。实际上，二十四个节气才是真正的农历，因为它才是安排农业的依据。