为什么报纸上的数字首位数“1”出现频率最高

报纸上出现的数字可谓五花八门：这些数字有的事关国计民生，有的衡量科技发展，有的体现休闲娱乐。你可能认为，把这些五花八门的数字收集起来，形成的数字大杂烩是没有规律的。可是事实恰恰不是这样。只要留心就不难发现，这些数字中的第一位数并不是平均分布的。其中数字1的出现频率明显高于其他数字。

要弄清这个问题，就要从报纸上数字的分布规律入手。在报纸上我们经常会读到个位数，也经常读到几十、几百、几千、几万等各种大小的多位数。这说明，报纸上每个数字出现的概率并不是相同的(否则，假如报纸上出现的数是从1～10 000中随机出现的，那么我们就几乎总是看到几千这样的多位数，而很少能看到个位数了)。其实，和均匀分布即呈算术平均分布相比，指数分布能更好地描摹报纸上数字的这种分布规律。例如，如果$x$从1～10之间均匀分布的实数中取值，则$y=10^x$就会自然而然地跨越多个数量级。对$x$任意取值，计算一下$y$就会发现，尽管$x$中首位是1～9的概率都只有1/9，而$y$的首位数字是1的概率则几乎有1/3（注意$x$是实数）。这种首位数在跨越多个数量级的“随机”数据中出现的概率分布规律叫作本福德定律。一般地，1～9之间的数字d在这样的数据中以首位出现的概率是$\lg(d+1)-\lg d$。

对于会编计算机程序的读者来说，写一个简单的程序就可以很精确地验证这个定律。本福德定律有着广泛的应用范围。例如，世界各国的人口、国土面积、国民生产总值等数据都符合本福德定律。甚至物理学上的质量、相互作用等常数也符合本福德定律。本福德定律还能用来判断公司的账目是否造假：除非有意为之，否则人为假造的数据是不满足本福德定律的。本福德定律也可以从另一个角度来理解：对于基本物理常数也好，报纸上的数字大杂烩也罢，这些数字都不应当特殊“喜欢”某一进位制。也就是说，换另一套进制，这些数字的分布规律应该是不变的。而满足这种单位变换下形状不变的分布，则恰好符合本福德定律。

常用物理常数的首位数字分布

世界各国人口、面积、国民生产总值的首位数字公布