为什么分数相加要先通分

在分数乘法运算中，两分数相乘等于分子、分母分别相乘。但在加法运算中，却不能将分子、分母分别相加，而是首先要通分化为同一个分母，然后分母不变、分子相加。这是为什么呢？要回答这一问题，首先要明确分数及其加法的意义。

一个（正）分数是一个数，代表的是把一个整体对象平均分成若干份（这个份数叫作分母），从中提取若干份（这个份数叫作分子）所占这个整体的比例。比如，把一个西瓜平均分成5份，拿出其中的3份，所占整体的比例就是$\frac{3}{5}$。有时候，拿出的份数（分子）超出一个整体平均分出的份数（分母），其含义为，拿出的量超过了一个整体，其数值就大于1，这就是假分数。同一个比例数，用分数可以有多种不同的表示方法，比如，把一个西瓜平均分成5份拿出其中的3份，跟把这个西瓜平均分成10份拿出其中的6份是一样的，也就是说， $$\frac{3}{5}=\frac{6}{10}=\frac{9}{15}=\cdots.$$

这么说来，一个分数其实有一个“家族”，那里有无穷多个成员，比如：$\frac{3}{5}$这个“家族”里就有$\frac{3}{5}$,$\frac{6}{10}$,$\frac{9}{15}$，…这无穷多个成员，其中任何一个都可以代表$\frac{3}{5}$。

那么两个分数相加又是什么意思呢？由于每个分数表示取出的部分占整体的比例，两个分数表示在整体中取出了两个部分，这两个部分合在一起所占整体的比例就是这两个分数之和。

比如计算$\frac{3}{8}$+$\frac{4}{8}$，相当于把两个同样大小的西瓜分别平均分成同样的8份，从其中一个西瓜中取出3份，从另一个西瓜中取出4份，要求取出的总量（两者之和）占一个西瓜的比例。由于取出的总量相当于从一个西瓜中取出7(3+4)份，因此其和为 $$\frac{3}{8}+\frac{4}{8}=\frac{3+4}{8}=\frac{7}{8}.$$

这就是同分母分数相加，分母不变，分子相加。

如果要计算$\frac{3}{8}$+$\frac{1}{2}$，这时就不能对两个分数简单相加。这相当于第二个西瓜只平均分成2份，从中取出1份，但这跟刚才分成8份取出4份从比例上来看是相同的，因此可以转换为第二个西瓜也分成8份取出4份的情形，这样： $$\frac{3}{8}+\frac{1}{2}=\frac{3}{8}+\frac{4}{8}=\frac{7}{8}.$$

这就是异分母的分数相加，必须把它们转化为同样分法的情况，也就是同分母的情况。

换句话说，在两个异分母分数相加时，我们必须从两个分数“家族”中各选取分母相同的那两个成员来参与运算，比如计算$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{5}$，要在$\frac{2}{3}$的家族“$\frac{2}{3}$，$\frac{6}{9}$，$\frac{8}{12}$，$\frac{10}{15}$$\cdots$”和$\frac{3}{5}$的家族“$\frac{3}{5}$，$\frac{6}{10}$，$\frac{9}{15}$$\cdots$”中分别选取分母相同的两个成员$\frac{10}{15}$和$\frac{9}{15}$来参与运算（这个过程叫作通分），得到的结果为 $$\frac{2}{3}+\frac{3}{5}=\frac{10}{15}+\frac{9}{15}=\frac{19}{15}.$$