为什么分数可化为有限小数或无限循环小数

分数（包括整数）是有理数，从小数的角度看，就是有限小数或者无限循环小数。这意味着，分数与有限小数或无限循环小数之间，是可以互相转化的。为什么呢？

一个分数$\frac{q}{p}$的值，也就是用$p$去除$q$所得的值。用$p$去除$q$，每一次的余数只可能是0或1，2，$\cdots$，$p$–1等$p$种情况。如果某次的余数是0，则得到的商就是有限小数；如果余数始终不为0，那么余数只有$p$–1种情况，按照抽屉原则，商的小数点后$p$位小数的余数中必有两位是重复的，因此必然在重复余数后造成循环，也就是说得到的商是无限循环小数，而且其第一个“循环节”必然在前$p$位小数内开始。因此，分数可以转化为有限小数或无限循环小数。

反过来，有限小数或无限循环小数也可以化为分数。有限小数转化为分数是简单的，一个具有n位小数的有理数，只要将其放大$10^n$倍，再除以$10^n$即可。例如 $$0.125=\frac{0.125×1000}{1000}=\frac{125}{1000}=\frac{1}{8}.$$

对于无限循环小数，则可先将该小数分别放大$10^{m+n}$倍和$10^n$倍，其中$n$是小数的非循环部分的位数，$m$是一个循环节的位数。这两个放大后的数其小数部分将完全相同，相减就得到一个整数。从而就可将原小数化为分数。例如：对$a$=0.24126126126$\cdots$，小数点后前两位24是非循环部分，循环节为126，有3位。计算 $$100000a=24126.126126\cdots，$$ $$100a=24.126126126\cdots.$$ 相减得到(100000$a$–100$a$）=24126–24=24102。于是 $$a=\frac{24102}{100000-100}=\frac{24102}{99900}=\frac{1339}{5550}，$$

我们就将无限循环小数$a$化为了分数。